Question

有一些众所周知的加密算法可用于计算模幂运算（a ^ b）％c（如此处从右到左的二进制方法：http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_exponentiation）。

但是存在算法来计算形式的模幂运算（a ^（2 ^ N））％m比使用“经典”算法快吗？

非常感谢！

注意：

1）m可以是一个非常大的素数......或者不是（因此根据m不进行优化）

2）N可以大至2 ^ 32-1（N <2 ^ 32）

Answer 1

如果m是素数，你可以更快地计算它。

首先用从右到左的二元法计算p = 2 ^N％（m-1）。

然后使用从右到左的二进制方法计算^p％m，由于Fermat's little theorem，它等于原始表达式。

如果m不是素数，但足够小，以便可以计算，你可以计算Euler的totient函数并使用Euler's Theorem。

如果不能根据m进行优化，那么您可以做的最好就是使用Montgomery reduction。

Answer 2

此外，作为对Evgeny答案的概括：如果你知道m：m = p1 * p2 * ... * p{n}的因子分解，你可以使用Euler's theorem：

计算总数phi(m)= (p1-1)*(p2-1)*...*(p{n}-1)。

然后，您可以计算p = 2^N % phi(m)并找到a^(2^N) % m = a^p % m。

然而，这些都不使用2^N的特殊形式。

Answer 3

Evgeny和Rasmus给出了很好的答案。除此之外，请记住使用连续的平方功率。也就是说，将基数E中的指数（2）写下来：

E = b0*1 + b1*2 + ... + bk*2^k

其中每个bi为0或1，bk = 1为最后一个非零位。然后，您可以通过

向指数N提出一个数字，比如E

N^E (mod m) = n0^b0 * n1^b1 * ... * nk^bk (mod m)

，其中

n0 = N (mod m)
n1 = n0^2 (mod m)
n2 = n1^2 (mod m)
...
nk = n(k-1)^k (mod m)

例如，要计算28^27 mod 76，您有N = 28，E = 27，m = 76，并且计算是

27 =  1 +  2 +  8 + 16
 E = b0 + b1 + b3 + b4

和

n0 = 28 (mod 76) 
n1 = 28^2 (mod 76) = 24
n2 = 24^2 (mod 76) = 44
n3 = 44^2 (mod 76) = 36
n4 = 36^3 (mod 76) =  4

最后

28^27 (mod 76) = 28 * 24 * 36 *  4 (mod 76) = 20
 N^ E (mod  m) = n0 * n1 * n3 * n4 (mod 76)