解决圆圈碰撞

Question

我正在编写扩展Circle-Rectangle collision detection (intersection)的软件，以包含对碰撞的响应。圆边和圆矩形是相当直接的。但圈圈让我难过。

例如，在离散事件模拟中，让两个圆碰撞，一个红色和一个绿色。我们可能会遇到以下情况：

碰撞后我们可以立即：

此处RIP和GIP是前一个时钟周期的圆圈位置。在当前时钟滴答处，在RDP和GDP处检测到碰撞。但是，当两个圆圈处于RCP和GCP时，时钟滴答之间发生冲突。在时钟滴答处，红色圆圈向下移动RVy，向右移动RVx;绿色圆圈向下移动GVy，向左移动GVx。 RVy不等于GVy; RVx也不等于GVx。

当圆心之间的距离小于或等于圆的半径之和时，即在前图中，d <=（Rr + Gr），发生碰撞。在碰撞中，d < （Rr + Gr），我们需要在调整圆的速度分量之前将DP定位回CP。在d ==（Rr + Gr）的情况下，由于DP在CP处，因此不需要重新定位。

这就是问题所在：如何重新回到CP。一些作者建议应用下图中由p给出的渗透的一半。

对我而言，这是完全错误的。它假设两个圆的速度矢量相等，在这个例子中不是这种情况。我认为渗透与计算有关，但我怎么办。我知道这个问题可以重新定义为我们想要为Gcdy和GCdx解决的类似三角形的问题。

碰撞本身将被建模为弹性，并且惯性交换的数学已经到位。唯一的问题是在碰撞时将圆圈定位在哪里。

Answer 1

“这就是问题所在：我该如何采取行动。”

您可能想知道在调整圆圈的速度成分之前如何“将DP定位回CP。”

因此，有两个问题，如何确定CP（发生碰撞的位置）以及如何从该点开始调整圆圈的运动。第一部分有一个相当简单的解决方案（允许不同的半径和速度分量），但第二部分取决于是否建模弹性或非弹性响应。在评论中你写道：

  

碰撞将被建模为弹性。惯性交换的数学   已经到位了。问题是在哪里定位圈子。

鉴于我将仅解决第一个问题，解决碰撞发生的确切位置。假设两个圆的运动一致，则知道发生碰撞的确切时间就足够了，即圆的中心之间的距离何时等于它们的半径之和。

通过均匀运动，可以通过从另一个圆（绿色）中减去其速度来将一个圆（红色）视为静止。实际上，我们将第一个圆的中心视为固定，并仅考虑第二个圆（均匀）运动。

现在通过求解二次方程找到确切的碰撞时间。设V =（GVx-RVx，GVy-RVy）是圆的相对运动，并且让P =（GIPx-RIPx，GIPy-RIPy）它们在碰撞之前的“瞬间”中的相对位置。我们通过定义：

为相对位置P“线性化”线性路径

P（t）= P + t * V

并询问此直线何时与半径Rr + Gr原点周围的圆相交，或者何时：

（Px + t * Vx）^ 2 +（Py + t * Vy）^ 2 =（Rr + Gr）^ 2

这是未知时间t的二次方程式，所有其他涉及的数量都是已知的。情况是这样的（在CP位置或之前发生碰撞）将存在积极的实际解决方案（通常是两个解决方案，一个在CP之前，一个在之后，但可能是放牧接触给出“双根”）。您想要的解决方案（根）是较早的解决方案，其中t（在“即时”RIP处为零，GIP位置）较小。

Answer 2

如果您正在寻找关于圆形物体的非弹性碰撞的基本参考，Joe van den Heuvel和Miles Jackson的Pool Hall Lessons: Fast, Accurate Collision Detection Between Circles or Spheres非常容易理解。

从最不正式到最正式，这里有一些关于实现编程工艺的后续参考资料，这些编程是解决问题的解决方案（碰撞响应）。

• Brian Beckman＆amp;查尔斯托雷The Physics in Games - Real-Time Simulation Explained
• Chris Hecker，Physics, Part 3: Collision Response，Game Developer 1997
• David Baraff，Physically Based Modeling: Principles and Practice，在线Siggraph '97课程笔记，特别相关的是用于刚体模拟的幻灯片。

你将不得不接受一些近似值 - Beckman在视频中证明即使对于非常简单的情况，也不可能通过分析预测会发生什么，这更糟糕，因为你正在模拟一个连续的系统离散的步骤。

Answer 3

在给定初始位置和速度矢量的情况下，您实际上可以获得达到碰撞所需时间的表达式。

调用你的对象A和B，并说他们有位置向量 a 和 b 和速度向量 u 和 v < / strong>，分别。假设A以每时间步长 u 单位的速度移动（因此，在时间= t时，A在 a ;在时间= t + 1时，A在 a + u ）。

我不确定你是否想要看到推导;它看起来不会那么好......我对LaTeX的了解非常有限。 （如果你真的想要我，我可以在以后编辑它）。但是现在，这就是我所拥有的，使用通用C＃-ish语法，使用Vector2类型，声明为Vector2（X，Y），并具有向量加法，标量乘法，点积和长度的函数。

double timeToCollision(Vector2 a, Vector2 b, Vector2 u, Vector2 v)
{
    // w is the vector connecting their centers;
    // z is normal to w and equal in length.
    Vector2 w = b - a;
    Vector2 z = new Vector2(-1 * w.Y, w.X);
    Vector2 s = u - v;
    // Dot() represents the dot product.
    double m = Dot(z, s) / Dot(w, s);

    double t = w.Length() / Dot(w, s) * 
              (w.Length() - sqrt( ((2 * r) ^ 2) * (1 + m ^ 2) - (m * w.Length()) ^ 2) ) / 
              (1 + m * m)

    return t;
}

对于碰撞的响应：如果你可以快进到冲击点，你不必担心处理相交的圆圈。

如果您感兴趣，当不会成为碰撞时，此表达式会给出一些很酷的结果。如果两个物体彼此远离，但如果它们的速度被反转就会发生碰撞，那么你将获得t的负值。如果对象位于不平行的路径上，但永远不会相遇（相互通过），则会在平方根内得到负值。抛弃平方根项，您将获得彼此最接近的时间。如果它们以相同的速度并行移动，则分母中的值为零，t的值为未定义。

嗯，希望这很有帮助！我碰巧和你有同样的问题，并决定看看我是否可以在纸上解决问题。

编辑：在发布之前我应该​​更仔细地阅读之前的回复......上面公式的混乱确实是硬数据描述的二次方程的解决方案。为冗余职位道歉。

Answer 4

要以恒定的速度重新定位两个重叠的圆圈，您需要做的就是找到发生碰撞的时间，并将它们的速度因子添加到它们的位置。

首先，我们将考虑一个具有组合半径和相对位置和速度的圆，而不是两个圆移动。让输入圆圈的位置为P1和P2，速度为V1和V2，以及半径为r1和r2。让组合圆具有位置P = P2 - P1，力度V = V2 - V1和半径r = r1 + r2。

我们必须找到圆与原点相交的时间，换句话说，找到t的{​​{1}}的值。应该有0,1或2个值，具体取决于圆圈是否不通过原点，与它相切，还是飞过它。

r = |P + tV|通过平方双方。

r^2 = ||P + tV||使用L2范数等价于矢量与自身的点积，然后分布点积。

r^2 = (P + tV)*(P + tV) = t^2 V*V + 2tP*V + P*P将其转化为二次方程式。

如果没有解决方案，那么判别式t^2 V*V + 2tP*V + P*P - r^2 = 0将为负数。如果它为零或正，那么我们对第一个解决方案感兴趣，所以我们将减去判别式。

b^2 - 4ac

所以a = V*V b = 2 P*V c = P*P - r^2 t = (-b - sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a) 是碰撞的时间。