假设L1和L2是3D中的两条线，假设P1和P2是L1，L2上的两个点。这样距离（P2-P1）是L1和L2之间的最短距离。矢量（P2-P1）是否需要垂直于L1和L2？如果是这样，为什么呢？对于2D空间也是如此吗？
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是的，这是真的。想象一下这条线，垂直于L1和L2。有两种情况，L1和L2是平行的（在这种情况下，两者之间的所有垂直线是等效的，或者它们就像两个螺旋桨安装在同一个轴上，但是在不同的角度。轴（这是唯一的线是垂直于两个螺旋桨），代表最短距离，因为无论你沿哪个方向移动螺旋桨，远离轴，你显然增加了距离，因为任何这样的线将形成一个右边三角形的第三斜边等于轴本身，另一侧等于沿螺旋桨的运动。
如果沿两个螺旋桨移动，很明显，如果您沿相反方向远离轴，则会增加距离。即使螺旋桨几乎对齐，并且沿着两个螺旋桨沿同一方向移动，两点之间的直线将再次与直角三角形的斜边相交，其中一边是两个螺旋桨的旋转平面之间的距离，另一侧是两个螺旋桨之一的旋转平面中的一条线。
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取L1×L2-> R的函数，对于L1和L2上的两点P和Q分别给出它们之间的平方距离：
f: L1×L2 -> \R
f(P, Q) = d(P, Q)^2 = (Q - P) . (Q - P)
其中(Q - P)是向量，.是标量积。由于函数f具有最小值at（P1，P2），因此差值df / dP和df / dQ在（P1，P2）处为零。更重要的是：
df/dP = dP . (Q - P)
df/dQ = dQ . (Q - P)
如果评估了（P1，P2）的那些等式，其中差值为零，则给出：
dP。 （P2-P1）= 0 dQ。 （P2 - P1）= 0
dP和dQ分别是与L1和L2共线的向量。这两个方程表明必然，向量P2 - P1垂直于L1和L2的方向向量。