在2d图像上绘制欧拉角旋转模型

时间：2013-08-18 21:45:12

标签： c++ opencv euler-angles

我目前正试图在2d图像中绘制欧拉角的3d表示（没有opengl或3d图形窗口）。图像输出可以类似如下。

euler angles

基本上我正在寻找可以采用旋转矩阵或一组欧拉角的研究或算法，然后将它们输出到二维图像上，如上所述。这将在使用OpenCV的C ++应用程序中实现。它将用于根据对象的状态在OpenCV窗口上输出注释信息。

我想我在思考这个因为我应该能够从旋转矩阵中分解单位向量，然后提取它们的x，y分量并在（0,0）的笛卡尔空间中绘制一条线。我在这个想法中是否正确？

编辑：我正在寻找正交投影。您可以假设上面的图像具有正确的相机/视角。

任何帮助都将不胜感激。

谢谢，

编辑：现在可以在我的仓库中找到示例源代码。 标题：https://bitbucket.org/jluzwick/tennisspindetector/src/6261524425e8d80772a58fdda76921edb53b4d18/include/projection_matrix.h?at=master

班级定义：https://bitbucket.org/jluzwick/tennisspindetector/src/6261524425e8d80772a58fdda76921edb53b4d18/src/projection_matrix.cpp?at=master

它不是最好的代码，但它有效，并显示了获得接受答案中描述的投影矩阵所需的步骤。

这里还有一个投影矩阵的youtube vid（加上比例和翻译）：http://www.youtube.com/watch?v=mSgTFBFb_68

2 个答案:

答案 0 :(得分：1)

这是我的两分钱。希望它有所帮助。

如果我理解正确，您想要旋转 3D 坐标系，然后将其正交投影到给定的 2D 平面（ 2D 平面上是相对于原始的，未旋转的 3D 坐标系统定义的。

＆＃34;旋转和投射 3D 坐标系统＆＃34;是＆＃34;旋转三个 3D 基矢量并将它们正交投影到 2D 平面上，使它们成为 2D 矢量相对于 2D 平面的基础＆＃34;。让原始 3D 矢量未被打开，并生成 2D 矢量。设 {e1，e2，e3} = {e1..3} 为 3D 标准正交（给出）， {e1＆＃39;，e2＆ ＃39;} = {e1..2＆＃39;} 是 2D 标准正交基础（我们必须定义）。基本上，我们需要找到 PR * v = v＆＃39; 这样的运算符 PR 。

虽然我们可以谈论线性代数，运算符和矩阵表示，但它的篇幅太长了。它足以说明：

  1. 对于 3D 旋转和 3D-＆gt; 2D 投影算子，都有真实的矩阵表示（线性变换; 2D 是<的子空间< EM> 3D ）。
  2. 这是因此应用的两个转换，即 PR * v = P * R * v = v＆＃39; ，因此我们需要找到旋转矩阵 R 和投影矩阵 P 。显然，在我们使用 R 轮换 v 后，我们可以使用 P 投影结果向量 vR 。
  3. 您已经有旋转矩阵 R ，因此我们认为它是给定的 3x3 矩阵。因此，为简单起见，我们将讨论投影向量 vR = R * v 。
  4. 投影矩阵 P 是 2x3 矩阵， i 第列是 i -th的投影 3D 基础向量 ei 到 {e1..2＆＃39;} 基础上。

    5. 让我们找到 P 投影矩阵，例如 3D 向量 vR 线性转换为 2D 2D 平面上的矢量 v＆＃39; ，具有标准正交基础 {e1..2＆＃39;} 。

    2D 平面可以通过与其垂直的向量轻松定义。例如，从OP中的数字来看，似乎我们的 2D 平面（纸面）具有正常单位向量 n = 1 / sqrt（3） *（1,1,1）。我们需要在 n 定义的 2D 平面中找到 2D 基础。由于位于我们的 2D 平面中的任何两个线性独立的矢量将形成这样的基础，所以这里是无限数量的这种基础。从问题的几何形状出发，为简单起见，我们强加两个附加条件：第一，基础应该是正交的;第二，应该在视觉上吸引人（虽然，这在某种程度上是一种主观条件）。通过设置 e1＆＃39;可以很容易地看出，这种基础在引导系统中平凡地形成。 =（1,0）＆＃39; = x＆＃39; -axis（水平，从左到右的正方向）和 e2＆＃39; =（0,1）＆＃39; = y＆＃39; -axis（从下到上的垂直，正方向）。

    现在让我们在 {e1..3} 中找到 {e1＆＃39;，e2＆＃39;} 2D 基础strong> 3D 基础。

    1. 我们将 e1＆＃39; 和 e2＆＃39; 表示为 e1＆＃34; 和 e2＆＃ 34; 在原始基础上。注意到在我们的情况下 e1＆＃34; 没有 e3 - 组件（ z - 组件），并使用 n dot e1＆＃34; = 0 ，我们得到 e1＆＃39; =（1,0）＆＃39; - ＆GT; E1＆＃34; {e1..3} 基础上的=（ - 1 / sqrt（2），1 / sqrt（2），0）。在这里， dot 表示点积。
    2. 然后 e2＆＃34; = n 交叉 e1＆＃34; =（ - 1 / sqrt（6）， - 1 / sqrt（6），2 / sqrt（6））。在这里， 交叉 表示交叉产品。

      3. 由 n = 1 / sqrt（3）<定义的 2D 平面的 2x3 投影矩阵 P < / em> *（1,1,1）由：

      给出 
      ( -1/sqrt(2)    1/sqrt(2)        0     )
( -1/sqrt(6)   -1/sqrt(6)    2/sqrt(6) )

      将第一，第二和第三列转换为 {e1..3} 3D 基础到 2D 基础 {e1 .2＆＃39;} ，即来自 3D 的 e1 =（1,0,0）具有坐标（-1 / sqrt（ 2），-1 / sqrt（6））在我们的 2D 基础上，依此类推。

      为了验证结果，我们可以检查几个明显的情况：

      1. n 与我们的 2D 平面正交，因此不应该投影。实际上， P * n = P *（1,1,1）= 0 。
        2. e1 ， e2 和 e3 应转换为 {e1..2＆＃39;} ，即 P 矩阵中的对应列。的确， P * e1 = P *（1,0,0）=（ - 1 / sqrt（2）， - 1 / sqrt（6））等等。

        最终确定问题。我们现在为任意选择的 2D 平面构建了从 3D 到 2D 的投影矩阵 P 。我们现在可以将先前通过旋转矩阵 R 旋转的任何矢量投影到此平面上。例如，旋转原始基础 {R * e1，R * e2，R * e3} 。此外，我们可以乘以给定的 P 和 R 来获得旋转投影变换矩阵 PR = P * R 。

        P.S。 C ++实现留作家庭作业;）。

答案 1 :(得分：0)

旋转矩阵很容易显示，

可以使用法线，副法线和切线来构造旋转矩阵。

您应该能够按照以下方式退回： - 

Bi-Normal (y') : matrix[0][0], matrix[0][1], matrix[0][2]
Normal    (z') : matrix[1][0], matrix[1][1], matrix[1][2]
Tangent   (x') : matrix[2][0], matrix[2][1], matrix[2][2]

使用透视变换，您可以添加透视（x，y）=（x / z，y / z）

为了实现类似于所示的正交项目，您需要乘以另一个固定旋转矩阵以移动到“相机”视图（向右45°然后向上）

然后，您可以将终点x（1,0,0），y（0,1,0），z（0,0,1）和中心（0,0,0）乘以最终矩阵，仅使用x，y坐标。

中心应始终转换为0,0,0

然后，您可以缩放这些值以绘制到2D画布。

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