证明对称矩阵的所有对角元素都是不同的

Question

给定一个15 * 15对称矩阵，每行包含1到15之间的所有数字，每列包含1到15之间的所有数字，你如何继续证明所有对角元素都不同？ 我试图证明没有两个对角元素是相同的，但是不能提出任何可靠的东西。甚至尝试过5 * 5矩阵，但我无法想出来证明这一点。 任何帮助将不胜感激！

Answer 1

这是对称拉丁方的问题。第一次观察（需要一个简短的证明）是数字1到15中的每一个在非对角线位置出现偶数次。由于15是奇数，这意味着每个数字必须在对角线位置至少出现一次。但是只有15个对角线位置，因此每个数字必须在对角线位置恰好出现一次。

Answer 2

如果通过'证明'表示对特定矩阵进行演示，请参见下文。如果用“证明”来表示数学证明，那么所有对角矩阵都是对称矩阵，并且对角矩阵不需要具有唯一元素，因此并非所有对称矩阵都在对角线上具有唯一元素。

测试特定矩阵的一种方法是创建一个包含所有对角元素的新数组，然后消除该数组中的重复数据，并测试长度。另一种方法是采用每个对角元素，并将其与对角线上具有较高指数的元素进行比较。这是后者的一些使用基于0的数组的伪代码

unique = TRUE
for i = 0 to 14 {
  value = matrix[i][i]
  for j = i+1 to 14      // doesn't loop if i+1 > 14
    if (value == matrix[j][j])
      unique = FALSE
}

ADDED：OP指出我错过了对每行和每列内容的限制！所有由N个唯一值组成的对称NxN矩阵，在每个行和列中没有重复值，必须具有由对称性定义的仅由一个值组成的反对角线。如果N是奇数，则得到的矩阵具有对角线和反对角线中的单个元素（当然，如果N是偶数，则没有共同的元素）。鉴于此，您可以看到除了公共元素之外，每个位置的对角线值必须与反对角线不同。将其与每行和每列具有N个值的要求相结合，您将看到每行的对角线元素必须不同。这不是正式的，但我希望它有所帮助。

Answer 3

我们可以假设给定的矩阵为m * m，并用m个不同的数字填充该矩阵：N1，N2 ... Nm。

因为每个元素应该在每列/行中显示一次，对于每个数字，它将在矩阵中显示n）次。

由于它是对称的，每个数字在对角线上方的上部将显示x（偶数）倍，在对角线下方的下部将显示x（偶数）倍。这样，除了对角线以外，每个数字在矩阵中还会显示2 * x（x是偶数）次。

因此，如果给定的m为奇数，则每个数字应在对角线上再显示一次；如果给定的是偶数，我们不要求每个数字都出现在对角线上，因为2 * x已经是偶数了。