Question

最快的方法是什么？

我的简单方法：

for (C = 1;C<sqrt(A);C++) {
 B=A/(C*(C+1));
 if B is natural then add B,C to the list of possible pairs. 
}

可以在低于O（sqrt（A））的情况下完成吗？

解决方案

正如Egor Skriptunoff所说，可以在O（cube_root（A））中轻松完成。

这是一个简单的javascript实现。

function findBCs(A) {
    if (A / 2 != Math.floor(A / 2)) return [];
    var solution = [];
    var i;
    var SR3 = Math.pow(A, 1 / 3);
    for (i = 1; i <= SR3; i++) {
        var B, C;
        C = i;
        B = A / (C * (C + 1));
        if (B == Math.floor(B)) {
            solution.push([B, C]);
        }

        B = i;
        C = (-1 + Math.sqrt(1 + 4 * A / B)) / 2;
        if (C == Math.floor(C)) {
            solution.push([B, C]);
        }
    }

    return solution;
}

我接受Meh的答案，因为它应该更好（除了它的实现有点复杂，我还没有测试过。）

Answer 1

可以在O(cube_root(A))中完成实际上，您的某个号码B和C必须小于cube_root(A)

Answer 2

第1步：因素A

步骤2：从A的素数因子中找出所有除数的集合S.

步骤3：对于S中的每个除数c，检查c + 1是否也将A除。如果确实那么b = A /（c *（c + 1））是一个解决方案。（这使用c和c + 1是互质的。因此，如果c和c + 1除以A，那么c *（c + 1）也是如此。

这种复杂性取决于用于因子AEg的方法，如果你实现例如Pollard-rho（相对简单）那么在最坏的情况下，实现的复杂性大约为O（A ^ 0.25）。这仍然不是最好的答案。当然有更好的分解算法。此外，如果您的输入是一个具有大量除数的特殊情况，那么因子分解可能很容易，除数的数量也是限制问题。

这种方法的优势当然是你会花时间在一个通常有用的功能（即分解）上，这将简化解决其他类似问题。我自己在Python中实现的Pollard-rho需要总共0.03秒来处理20个示例，其中15个数字由6502发布，这已经至少是1000倍的加速。更复杂的实现应该会带来更大的改进。

为了进行比较，Egor Skriptunoff提出的O（A ^（1/3））方法的快速而肮脏的Python实现需要相同列表的0.7s。对于易于实现的方法，这当然是一个很好的结果。

Answer 3

这个python似乎有效：

from __future__ import division
from math import sqrt

def bcc1(a):
    ans = []
    if a % 2: return ans   # for odd a
    for b in range(1, a // 2 + 1):
        c = max(1, int(sqrt(a / b)))
        if b*c*(c+1) == a: 
            ans.append((b,c))
    return ans

for a in range(2, 51, 2):
    print('a: %2i -> (b, c): %r' % (a, bcc1(a)))

产生的输出是：

a:  2 -> (b, c): [(1, 1)]
a:  4 -> (b, c): [(2, 1)]
a:  6 -> (b, c): [(1, 2), (3, 1)]
a:  8 -> (b, c): [(4, 1)]
a: 10 -> (b, c): [(5, 1)]
a: 12 -> (b, c): [(1, 3), (2, 2), (6, 1)]
a: 14 -> (b, c): [(7, 1)]
a: 16 -> (b, c): [(8, 1)]
a: 18 -> (b, c): [(3, 2), (9, 1)]
a: 20 -> (b, c): [(1, 4), (10, 1)]
a: 22 -> (b, c): [(11, 1)]
a: 24 -> (b, c): [(2, 3), (4, 2), (12, 1)]
a: 26 -> (b, c): [(13, 1)]
a: 28 -> (b, c): [(14, 1)]
a: 30 -> (b, c): [(1, 5), (5, 2), (15, 1)]
a: 32 -> (b, c): [(16, 1)]
a: 34 -> (b, c): [(17, 1)]
a: 36 -> (b, c): [(3, 3), (6, 2), (18, 1)]
a: 38 -> (b, c): [(19, 1)]
a: 40 -> (b, c): [(2, 4), (20, 1)]
a: 42 -> (b, c): [(1, 6), (7, 2), (21, 1)]
a: 44 -> (b, c): [(22, 1)]
a: 46 -> (b, c): [(23, 1)]
a: 48 -> (b, c): [(4, 3), (8, 2), (24, 1)]
a: 50 -> (b, c): [(25, 1)]

给定自然数A，我想找到所有自然数对（B，C），以便B * C *（C + 1）= A

3 个答案: