给定一组间隔S.您必须在最小时间复杂度中找到S中包含在给定间隔（a，b）中的所有间隔

Question

您将获得一组间隔S。您必须找到S中包含在给定时间间隔(a, b)内的所有时间间隔最短的时间间隔。

这可以在O(n)时间通过蛮力完成，其中n是集合S中的间隔数。但是，如果我被允许进行一些预处理，可以在不到O(n)的时间内完成，例如O(log n)时间？

最初我在考虑interval tree，但我不认为它适用于此处，因为间隔树用于获取与给定间隔重叠的所有间隔。

Answer 1

您可以在2D平面中重塑问题。让每个区间的(begin, end)为二维点。 （请注意，所有有效间隔都将在对角线上方结束）

您的Interval-search-problem转换为经过充分研究的正交2D范围查询，其算法具有或运行时间，其中k是报告的点数

Answer 2

Persistent binary search tree可以在这里使用。

<强>预处理：

1. 创建空的持久树。它应该存储按结束点排序的间隔。
2. 按起点对间隔进行排序。
3. 对于每个间隔，从排序列表的末尾开始，创建持久树的“副本”并将此间隔添加到此副本。

搜索：

1. 在排序列表中查找查询间隔的起点。
2. 将持久树的相应“副本”从最小的密钥迭代到查询间隔的末尾。

搜索时间复杂度为O（log（n）+ m），其中m是输出中元素的数量。