Question

我有一个算法问题，我想看看它是否可以比O（n）更好地解决：

我给出了一个n个元素的表T，其中每个元素是一个元组（s_i，e_i），其中s_i，e_i在N和s_i＆lt; e_i，即每个元组是某种间隔。我必须找到与给定间隔[t0，t1]重叠的所有间隔，其中t0，t1为N，t0

问题：

我们必须找到T中的每个间隔/元组（s_i，e_i），其中s_i＆lt; = t1和e_i＆gt; = t0。

到目前为止我的想法：

我们可以通过应用其中一个区间边界来排除某些元素，即在S中搜索t1或在E中搜索t0。这为我们提供了剩余元素的列表L：

L <- {e in E | e >= t0} or L <- {s in S | s <= t1}

但是，无论我们执行哪种搜索，L中的元素数量都没有下限。此外，我们必须检查L中的每个元素，如果s＆lt; = t1，或e＆gt; = t0，则取决于我们之前执行的搜索。

此解决方案的复杂性为O（n）。

但是，假设k是与区间[t0，t1]重叠的元素的最大数量。如果我们假设k <＆lt;＆lt; n，那么复杂度是O（n / 2），因为我们可以通过选择适当的L搜索来排除至少n / 2个元素。仍然O（n / 2）在O（n）中。

你能想出一个更好的方法来解决这个问题吗？

（请随意改进这个问题。也许它不是很清楚。谢谢）

Answer 1

如果您对k（答案中的间隔数量）一无所知，则不能超过O(N)，因为结果中可能有N个间隔。

如果你知道k比N小很多，你可能会做得更好。使用二进制搜索，您可以找到s_i<t0的最后一个i0和s_i1>t1的第一个i1。

然后你找到e_j0<t0的最后一个j0和e_j1>t1的第一个j1。

结果在max（i0，j0）和min（i1，j1）之间。所以你有O（logN）+ O（k）。

Answer 2

解决方案可以在cs.stackexchange.com找到：一般问题不能在小于O（n）的情况下解决。 Interval trees为搜索与某个其他区间重叠的区间提供O（log n）+ O（k）复杂度，假设k是重叠区间的数量。