如何计算适合R的圆的预测区间

Question

我希望从符合公式＆gt;的圆圈计算半径的预测间隔。 r²=（x-h）²+（y-k）²。 r-圆的半径x，y是高斯坐标h，k，标记拟合圆的中心。

# data
x <- c(1,2.2,1,2.5,1.5,0.5,1.7)
y <- c(1,1,3,2.5,4,1.7,0.8)
# using nls.lm from minpack.lm (minimising the sum of squared residuals)
library(minpack.lm)

residFun <- function(par,x,y) {
  res <- sqrt((x-par$h)^2+(y-par$k)^2)-par$r
  return(res)
}
parStart <- list("h" = 1.5, "k" = 2.5, "r" = 1.7)
out <- nls.lm(par = parStart, x = x, y = y, lower =NULL, upper = NULL, residFun)

问题是，predict()不适用于nls.lm，因此我尝试使用nlsLM计算圆拟合。 （我可以手动计算它，但是在创建我的Designmatrix时遇到了麻烦）.`

这就是我接下来尝试的内容：

dat = list("x" = x,"y" = y)
out1 <- nlsLM(y ~ sqrt(-(x-h)^2+r^2)+k, start = parStart )

导致：

Error in stats:::nlsModel(formula, mf, start, wts) : 
  singular gradient matrix at initial parameter estimates

问题1a：nlsLM()如何使用圆拟合？ （优点是通用predict()可用。 问题1b：如何获得适合我的圆圈的预测间隔？

线性回归的例子（这是我想要的圆回归）

attach(faithful)     
eruption.lm = lm(eruptions ~ waiting) 
newdata = data.frame(waiting=seq(45,90, length = 272)) 
# confidence interval
conf <- predict(eruption.lm, newdata, interval="confidence") 
# prediction interval
pred <- predict(eruption.lm, newdata, interval="predict")
# plot of the data [1], the regression line [1], confidence interval [2], and prediction interval [3]
plot(eruptions ~ waiting)
lines(conf[,1] ~ newdata$waiting, col = "black") # [1]
lines(conf[,2] ~ newdata$waiting, col = "red") # [2]
lines(conf[,3] ~ newdata$waiting, col = "red") # [2]
lines(pred[,2] ~ newdata$waiting, col = "blue") # [3]
lines(pred[,3] ~ newdata$waiting, col = "blue") # [3]

亲切的问候

编辑摘要：

Edit1：在nlsLM中重新排列公式，但参数（h，k，r）结果现在在out和out1中有所不同......

Edit2：添加了两个维基百科链接，用于澄清使用的术语puprose :( c.f. below）

confidence interval

prediction interval

Edit3：对问题的一些改述

Edit4：添加了线性回归的工作示例

Answer 1

我很难搞清楚你想做什么。让我来说明数据的外观以及“预测”的内容。

plot(x,y, xlim=range(x)*c(0, 1.5), ylim=range(y)*c(0, 1.5))
lines(out$par$h+c(-1,-1,1,1,-1)*out$par$r, # extremes of x-coord
      out$par$k+c(-1,1,1,-1 ,-1)*out$par$r, # extremes of y-coord
      col="red")

那么我们所说的“预测间隔”是什么？ （我确实意识到你在考虑一个圆圈，如果你只是想在这个背景上绘制一个圆圈也很容易。）

lines(out$par$h+cos(seq(-pi,pi, by=0.1))*out$par$r, #center + r*cos(theta)
      out$par$k+sin(seq(-pi,pi, by=0.1))*out$par$r, #center + r*sin(theta)
      col="red")

Answer 2

我认为这个问题目前的形式无法解决。任何基于线性模型的predict()函数都要求预测变量是输入设计矩阵的线性函数。 r^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2不是设计矩阵的线性函数（类似于[x0 x y0 y]，所以我认为你不会找到一个能给你信心的线性模型拟合如果有人比我更聪明有办法，我会非常有兴趣听到它。

解决这些问题的一般方法是创建一个分层的非线性模型，其中您的超参数将是x0和y0（您的h和k）在搜索空间上均匀分布，然后r ^ 2将被分布~N（（x-x0）^ 2 +（y-y0）^ 2，\ sigma）。然后，您将使用MCMC采样或类似方法来获得后验置信区间。

Answer 3

这是使用基本R的优化函数找到h，k，r的解决方案。您实际上创建了一个成本函数，它是一个包含您希望优化的数据的闭包。我不得不RSS值，否则我们会去-Inf。有一个局部最优问题，所以你需要运行几次......

# data
x <- c(1,2.2,1,2.5,1.5,0.5,1.7)
y <- c(1,1,3,2.5,4,1.7,0.8)

residFunArg <- function(xVector,yVector){

  function(theta,xVec=xVector,yVec=yVector){
  #print(xVec);print(h);print(r);print(k)
    sum(sqrt((xVec-theta[1])^2+(yVec-theta[2])^2)-theta[3])^2
  }
}

rFun = residFunArg(x,y);

o = optim(f=rFun,par=c(0,0,0))


h = o$par[1]
k = o$par[2]
r = o$par[3]

在REPL中运行此命令以观察本地分钟：

o=optim(f=tFun,par=runif(3),method="CG");o$par