Question

我必须开发一个与拓扑排序相关的O（| V | + | E |）算法，它在有向无环图（DAG）中确定从图的每个顶点到t的路径数（t是out-degree为0的节点。我已经开发了DFS的修改如下：

DFS(G,t):
    for each vertex u ∈ V do
        color(u) = WHITE
        paths_to_t(u) = 0
    for each vertex u ∈ V do
        if color(u) == WHITE then
            DFS-Visit(u,t)

DFS-Visit(u,t):
    color(u) = GREY
    for each v ∈ neighbors(u) do
        if v == t then
            paths_to_t(u) = paths_to_t(u) + 1
        else then
            if color(v) == WHITE then
                DFS-Visit(v)
            paths_to_t(u) = paths_to_t(u) + paths_to_t(v)
    color(u) = BLACK

但我不确定这个算法是否与拓扑排序有关，或者我是否应该以另一种观点重构我的工作。

Answer 1

可以使用动态编程和拓扑排序完成，如下所示：

Topological sort the vertices, let the ordered vertices be v1,v2,...,vn
create new array of size t, let it be arr
init: arr[t] = 1
for i from t-1 to 1 (descending, inclusive):
    arr[i] = 0  
    for each edge (v_i,v_j) such that i < j <= t:
         arr[i] += arr[j]

完成后，对于i中的每个[1,t]，arr[i]表示从vi到vt

的路径数量

现在，证明上述说法很简单（与您的算法相比，我不知道它是否正确以及如何证明它），它是通过归纳完成的：

基础： arr[t] == 1，确实存在从t到t的单一路径，即空路径。
假设：对于k范围内的每个m < k <= t，声明均为真
证明：我们需要证明m的声明是正确的。
让我们看看vm：(v_m,v_i)的每个边缘。
因此，从使用此边vt的{{1}}开始的v_m路径的数量。正是(v_m,v_i)（归纳假设）。总结来自arr[i]的外边缘的所有可能性，给出了从v_m到v_m的路径总数 - 这正是算法所做的。
因此，v_t

<强> QED

时间复杂度：
第一步（拓扑排序）需要arr[m] = #paths from v_m to v_t。
循环迭代所有边一次，所有顶点迭代一次，所以它也是O(V+E)。
这使我们的总复杂度为O(V+E)

拓扑排序以查找到t的路径数

1 个答案: