Question

我正在尝试编写一个从用户接受系统变量的Matlab程序，但是有多个变量而不是系统参数。具体而言，三个方程中的六个变量：

w - d - M = 0
l - d - T = 0
N - T + M = 0

这可以用矩阵形式表示为A*x=0其中

A = [1  0  0 -1  0 -1;
     0  1  0 -1 -1  0;
     0  0  1  0 -1  1];

x = [w  l  N  d  T  M]';

我希望能够在给定已知变量子集的情况下解决该系统。例如，如果用户提供d，T，M，则系统可以轻松解决其他三个变量。如果用户提供w，N，M，那么它就会成为可解决的3自由度系统。等等。（如果用户超出或者指定了系统，那么当然可能会产生错误。）

鉴于这些组合中的任何一个，（先验的）使用矩阵代数来计算未知量是很简单的。但我不知道如何解决一般情况，除了使用符号工具箱（出于兼容性原因，我不愿意这样做）。

当我开始使用这种方法时，我认为这一步很容易，但我的线性代数是生锈的;我错过了一些简单的东西吗？

Answer 1

首先，让x成为未知值为NaN的向量。这允许您使用ISNAN来查找未知数的缺失。如果仅为用户指定的术语计算A*x，则会为您提供一列常量b。将这些常数带到等式的右边，你有一个A*x = -b形式的等式。

A = [1  0  0 -1  0 -1;
     0  1  0 -1 -1  0;
     0  0  1  0 -1  1];

idx = ~isnan(x); 
b = A(:,idx)*x(idx); % user provided constants
z = A(:,~idx)\(-b); % solution of Ax = -b
x(~idx) = z;

例如，使用输入x = [NaN NaN NaN 1 1 1]'，您会得到结果[2 2 0 1 1 1]'。这使用MLDIVIDE，我对线性代数不够精通，无法知道PINV或其他更好的东西。

Answer 2

给定线性系统

A = [1  0  0 -1  0 -1;
     0  1  0 -1 -1  0;
     0  0  1  0 -1  1];

A*x = 0

x的元素被标识为：

x = [w  l  N  d  T  M]';

现在，假设{d，T，M}具有已知的固定值。我们需要的是x中这些元素的索引。我们已经选择了x的第4，第5和第6个元素。

known_idx = [4 5 6];
unknown_idx = setdiff(1:6,known_idx);

现在，让我为这些已知变量挑选一些任意数字。

xknown = [1; -3; 7.5];

我们将A分为两个子矩阵，对应于已知和未知变量。

Aknown = A(:,known_idx);
Aunknown = A(:,unknown_idx);

现在，将已知值移到相等的右侧，然后求解。看到Aknown是一个3x3矩阵，所以问题（希望）很好。

xunknown = Aunknown\(-Aknown*xknown)
xunknown =
         -8.5
            2
         10.5

将所有内容合并到最终解决方案中。

x = zeros(6,1);
x(known_idx) = xknown;
x(unknown_idx) = xunknown;
x =
         -8.5
            2
         10.5
            1
           -3
          7.5

请注意，我已将这一切扩展为几行，以更清楚地显示正在发生的事情。但是我可以用一两行代码完成所有这些工作，我想要简约。

最后，看看我选择了其他一些数字作为知识，例如{l，d，T}，那么得到的系统将是单数。所以你必须注意那个事件。对Aunknown等级的测试可能有助于解决问题。或者您可以选择使用pinv来构建解决方案。

Answer 3

方程组是固定的吗？如果将三个方程中存在的变量存储在每个等式的列表中，该怎么办：

(w, d, M)
(l, d, T)
(N, T, M)

然后您获得用户输入，您可以计算每个等式中给出的变量数量：

User input: w, N, M
Given variables:
(w, d, M) -> 2
(l, d, T) -> 0
(N, T, M) -> 1

这可以从第一个等式中给你d。因此，您最终会得到两个包含两个变量的方程式，并且您知道必须解决的方程式系统。

对于单个方程组，它基本上是您自己的简单符号求解器。

解决过度参数化系统中的变量问题

3 个答案: