从三维概率分布生成随机数

Question

如何从给定的三维PDF生成随机数？概率分布函数给出了在3D空间中具有任何给定的cooridinetes的粒子的概率。

我已经定义了PDF的功能，我可以不连续地对它进行评估，但我不知道从那里去哪里。我会使用逆变换采样的方法，但由于PDF是3D，我不知道我是否可以计算离散累积分布函数。是否可以使用其他方法执行此操作？

由于

Answer 1

如果您的空间坐标系是离散的，请将其视为单变量生成问题以生成三元组。

如果你在谈论连续发行，你可能想要使用条件概率。原则上你应该能够导出X的边际分布，给定X的Y的条件分布，以及给定X和X的条件分布。 Y.然后从边际和条件分布中依次生成X，Y和Z.

在实践中，这可能非常具有挑战性。

附录

也许最简单的方案是生成长度为3的多维法向量。这将在原点附近产生最高密度，并在所有方向上对称地逐渐变细。如果密度在某个其他位置最高，则可以使用平均向量替换它，可以使用不同的方差独立缩放维度，或者可以通过指定方差/协方差矩阵来获得相关法线来诱导任意轴对齐。

Answer 2

如果可以容忍离散化三个维度，则可以通过为3D分布生成累积分布来进行此操作，其方式类似于对1D分布进行此操作的方式。让我解释一下：

在1D中，取p（x）并离散化得到x上的p _i = p（x _i ）。您可以将p _i 视为代表您的概率分布的直方图。 p _i 是在x _i 表示的x范围内p（x）的积分，该整数具有一定的宽度。累积分布C（x _i ）就是p _i 直到x _i 的总和，并且将是'S '形的单调函数，范围在0到1之间。然后绘制0到1之间与C _i 对应的均匀随机数，并查看这些映射对哪个x _i 赋值

一个2D示例就足以了解上述内容如何推广到超过1D的地方：想象一下可以将p（x _i ，y _{j离散化的归一化p（x，y）} ）。然后，您可以对其求和，从而得到C _i，j = C（x _i ，y _j ）。您只需选择在进行集成时是先使用'x _i '还是'y _j '。要么像C _1,1 ，C _2,1 ，...，C _n，1 ，C _{1一样蜿蜒，2} ，...或翻转索引。无论哪种情况，结果都是0到1之间的唯一值的C _i，j 数组。然后，您可以选择0到1之间与C _{i对应的均匀随机数， j} ，然后映射到唯一的x _i ，y _j 坐标对。这样可以从离散概率分布中获得一个随机数，并自动处理x和y之间存在的所有相关性。

如果需要，可以使坐标离散化非常好，但是随着您从（https://en.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality）中采样的维数增加，这变得很昂贵。