围绕圆周运动的点的三角剖分算法

Question

鉴于以下系统：

其中：

• A：存在于xz平面上半径为r的圆边上任意位置的点。
• θ：正x轴与从原点到点A的矢量之间的角度。这应该从-PI / 2到PI / 2。
• B1：圆圈与正x轴交叉点的高度为h1。
• B2：圆圈与正z轴交叉点的高度为h2。
• d1：B1和A之间的距离。
• d2：B2和A之间的距离。

假设：

• h1，h2和r是已知的常量。
• d1和d2是已知变量。

如何找到θ？

这最终将在嵌入式系统中以C语言实现，其中arctan2，sine和cosine具有相当快的功能。因此，性能绝对是一个优先事项，如果它们正确到大约3个小数位（这是我的trig函数的准确度），则可以使用估计。

然而，即使给出了数学算法，我确信我可以计算出具体的实现方法。

对于它的价值，我得到了：

(d1^2 - h1^2) / r = (sin(θ))^2        + (cos(θ))^2
(d2^2 - h2^2) / r = (sin(PI/4 - θ))^2 + (cos(PI/4 - θ))^2

在我意识到这一点之前，在数学上，这是方式在我的联盟之外。

Answer 1

这不是一个完整的答案，而是一个开头。

您可以进行两种简单的简化。

让H1和H2成为B1和B2下方平面中的点。 既然知道了h1和d1，h2和d2，就可以计算出2个距离A-H1和A-H2（用毕达哥拉斯）。 现在你已经把拼图缩小到了一架飞机。

此外，您不需要同时查看H1和H2。给定距离A-H1，A只有2个可能的位置，它们在x轴上镜像。然后你可以通过查看A-H2距离是否高于或低于阈值距离H2-H1来找到它们中的哪一个。

这似乎是一个好的开始： - ）

Answer 2

使用@Rhialto，对角落案例进行额外的简化和测试：

// c1 is the signed chord distance A to (B1 projected to the xz plane)
// c1*c1 + h1*h1 = d1*d1
// c1 = +/- sqrt(d1*d1 - h1*h1)  (choose sign later)
// c1 = Cord(r, theta) = fabs(r*2*sin(theta/2))
// theta = asin(c1/(r*2))*2
//
// theta is < 0 when d2 > sqrt(h2*h2 + sqrt(2)*r*sqrt(2)*r)
// theta is < 0 when d2 > sqrt(h2*h2 + 2*r*r)
// theta is < 0 when d2*d2 > h2*h2 + 2*r*r

#define h1 (0.1)
#define h2 (0.25)
#define r (1.333)

#define h1Squared (h1*h1)
#define rSquared  (r*r)
#define rSquaredTimes2  (r*r*2)
#define rTimes2   (r*2)
#define d2Big (h2*h2 + 2*r*r)

// Various steps to avoid issues with d1 < 0, d2 < 0, d1 ~= h1 and theta near pi
double zashu(double d1, double d2) {
  double c1Squared = d1*d1 - h1Squared;
  if (c1Squared < 0.0)
    c1Squared = 0.0;  // _May_ be needed when in select times |d1| ~= |h1|
  double a = sqrt(c1Squared) / rTimes2;
  double theta = (a <= 1.0) ? asin(a)*2.0 : asin(1.0)*2.0; // Possible a is _just_ greater than 1.0
  if (d2*d2 > d2Big) // this could be done with fabs(d2) > pre_computed_sqrt(d2Big)
    theta = -theta;
  return theta;
}