在N（~500）维度中，我希望找出最大的球体或矩形，使得球体/矩形不包含已存在的点。整个点集以一个轴对齐的矩形框（值的下限和上限）为界。
我可以使用任何已知的多项式时间方法/代码来解决我的问题吗？
两个众所周知的算法：i）矩形（http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/ComputLargestEmptyRectangle.pdf）中最大的空矩形，以及ii）在位置约束（http://www.cs.dartmouth.edu/reports/TR86-130.pdf）内找到最大的空圆圈不起作用。
虽然上述算法的复杂度为N log N或N ^ 2 log N，其中N是已存在点的数量，但复杂度也是凸包或边界多边形顶点数的线性函数。 。 500维的矩形将具有2 ^ 500个角，这使得上述技术不可行。
理想情况下，我正在寻找一种方法（它不必精确），它可以确定多项式时间中最大的圆/矩形，以N（点数）和D（维度）。
谢谢。
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一种可能的启发式解决方案是限制大矩形，使其轴对齐。在这种情况下，矩形可以被最多2 * d个点限制，其中每个点表示一个或多个维度的边界最小值或最大值。然后可以确定一个点是否仅在O（d）中位于该矩形内。
使用此方法的启发式方法是选取2个点，并使用它们形成初始边界框，然后随机添加点。如果该点位于框内，则缩小或拆分框。如果该点位于框外，请尝试将框放大。如果框缩小而不是分割，则单次传递应采用O（d * N）。
通过确保两点之间的边界框内没有任何点，可以稍微改善质量。找到所有点对可能是理想的，因为在边界框内没有点，因为当转换为图形时，它们应该有助于以较不随机的方式扩展解决方案。动态编程可能导致比O（d * N ^ 3）更好的算法，可能是O（d * N ^ 2）或更好。