寻找5字节PRNG的种子

Question

一个古老的想法，但从那以后我无法找到一些合理的方法来解决它引发的问题。所以我发明了＃34; （见下文）一个非常紧凑的，在我看来，性能相当好的PRNG，但是我无法找到算法来为它在大位深度构建合适的种子值。我目前的解决方案只是暴力破解，它的运行时间是O（n ^ 3）。

生成器

我的想法来自XOR水龙头（基本上是LFSRs）一些用于发声的老式8bit机器。我摆弄了XOR作为C64的基础，尝试将操作码放在一起，并对结果有所了解。最终的工作解决方案看起来像这样：

asl
adc #num1
eor #num2

这是6502上的5个字节。有一个精心选择的num1和num2，在累加器中它以看似随机的顺序迭代所有256个值，也就是说，当用于填充屏幕时它看起来相当随机（我写的）然后就此进行一点256b演示）。有40个合适的num1＆amp;这对于num2对，所有这些都给出了不错的序列。

这个概念可以很好地推广，如果用纯C表示，它可能看起来像这样（BITS是序列的位深度）：

r = (((r >> (BITS-1)) & 1U) + (r << 1) + num1) ^ num2;
r = r & ((1U<<BITS)-1U);

这个C代码更长，因为它是通用的，即使使用无符号整数的全深度，C也不会有必要的进位逻辑来将移位的高位传送到加法运算

对于某些性能分析和比较，请在问题之后见下文。

问题/疑问

生成器的核心问题是找到合适的num1和num2，这将使它迭代给定位深度的整个可能序列。在本节的最后，我附上了我的代码，这些代码只是暴力强制它。它将在合理的时间内完成多达12位，您可以等待所有16位（顺便说一下，有5736个可能的配对，前一次通过隔夜完全搜索获得），你可能会得到几个20位如果你有耐心但O（n ^ 3）真的很讨厌......

（谁能找到第一个完整的32位序列？）

出现的其他有趣问题：

• 对于num1和num2，只有奇数值能够产生完整序列。为什么？这可能并不难（简单的逻辑，我猜），但我没有合理地证明它。

• 沿num1（添加值）有一个镜像属性，即，如果＆＃39; a＆＃39;给定的＆＃39; b＆＃39; num2给出一个完整的序列，然后是＆＃39; a＆＃39; （在给定的位深度中）具有相同的num2也是一个完整的序列。我只是在我计算的所有完整世代中可靠地观察到了这种情况。

• 第三个有趣的属性是所有num1＆amp; num2对结果序列似乎形成了正确的圆圈，也就是说，至少数字零似乎总是圆的一部分。如果没有这个属性，我的强力搜索就会陷入无限循环。

• 奖励：这个PRNG之前是否已经知道？ （我刚刚重新发明了它）？

这是蛮力搜索的代码（C）：

#define BITS 16

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

int main(void)
{
 unsigned int r;
 unsigned int c;
 unsigned int num1;
 unsigned int num2;
 unsigned int mc=0U;

 num1=1U;  /* Only odd add values produce useful results */
 do{
  num2=1U; /* Only odd eor values produce useful results */
  do{
   r= 0U;
   c=~0U;
   do{
    r=(((r>>(BITS-1)) & 1U)+r+r+num1)^num2;
    r&=(1U<<(BITS-1)) | ((1U<<(BITS-1))-1U); /* 32bit safe */
    c++;
   }while (r);
   if (c>=mc){
    mc=c;
    printf("Count-1: %08X, Num1(adc): %08X, Num2(eor): %08X\n", c, num1, num2);
   }
   num2+=2U;
   num2&=(1U<<(BITS-1)) | ((1U<<(BITS-1))-1U);
  }while(num2!=1U);
  num1+=2U;
  num1&=((1U<<(BITS-1))-1U); /* Do not check complements */
 }while(num1!=1U);

 return 0;
}

这表明它正在工作，在每次迭代之后将输出找到的对，如果它的序列长度等于或长于前一个。修改其他深度序列的BITS常量。

种子狩猎

我做了一些与种子有关的图表。这是一个很好的图像，显​​示所有9位序列长度：

白点是全长序列，X轴是num1（加），Y轴是num2（xor），点越亮，序列越长。其他位深度在模式上看起来非常相似：它们似乎都被分解为16个主要的图块，其中两个图案重复着镜像。瓷砖的相似性不完整，例如，从左上角到右下角的对角线上方清晰可见，而相反的情况则不存在，但对于全长序列，此属性似乎是可靠。

依靠这一点，可以比以前的假设更多地减少工作，但那仍然是O（n ^ 3）...

效果分析

截至目前，可能生成的最长序列为24位：在我的计算机上，大约需要5个小时才能完全强制执行完整的24位序列。对于真正的PRNG测试，例如Diehard，这仍然是一般的，所以到目前为止，我宁愿采用自己的方法。

首先了解发电机的作用非常重要。这绝不是一个非常好的发电机，它的简单性，它的目标是产生快速的正常数字。在不需要乘法/除法运算的区域上，Galois LFSR可以产生类似的性能。所以如果它能够胜过这个发电机，我的发电机是有用的。

我进行的测试都是16位发生器。我选择了这个深度，因为它提供了一个有用的序列长度，而数字仍然可以在两个8位部分中分解，从而可以提供各种精确的图形用于视觉分析。

测试的核心是寻找先前和当前生成的数字的相关性。为此，我使用了X：Y图，其中上一代是Y，当前是X，如上面提到的两个图，分解为低/高部分。我创建了一个程序，能够实时绘制这些步骤，以便大致检查数字如何相互跟随，图形如何填满。这里显然只有最终结果显示为发电机经过它们完整的2 ^ 16或2 ^ 16-1（伽罗瓦）周期。

字段的解释：

• 图像由8x2 256x256图表组成，总图像尺寸为2048x512（以原始尺寸检查）。

• 左上方的图表确认确实绘制了一个完整的序列，它只是一个X = r % 256; Y = r / 256;图。

• 左下方的图表显示每个第二个数字的绘制方式与顶部相同，只是确认数字合理地随机出现。

• 从第二张图中，顶行是高字节相关图。第一个使用上一代，下一个使用上一代（因此使用第二代），依此类推，直到第7代。

• 从第二行开始，底行是低字节相关图，组织方式与上面相同。

Galois发生器，0xB400抽头设置

这是Wikipedia Galois example中找到的生成器。它的表现并不是最糟糕的，但它仍然绝对不是很好。

伽罗瓦发生器，0xA55A抽头设置

其中一个体面的伽罗瓦种子＆＃34;我发现。请注意，16位数字的低部分似乎比上面的要好很多，但我找不到任何伽罗瓦种子＆＃34;这会使高字节模糊不清。

我的生成器，0x7F25（adc），0x00DB（eor）种子

这是我的发电机中最好的，其中EOR值的高字节为零。限制高字节在8位机器上很有用，因为如果可以承受随机性能损失，那么对于较小的代码可以省略这种计算并且可以更快地执行。

我的生成器，0x778B（adc），0x4A8B（eor）种子

根据我的测量结果，这是非常优质的种子之一。

为了找到具有良好相关性的种子，我建立了一个小程序，可以在某种程度上分析它们，就像Galois和我的一样。 ＆＃34;质量好＆＃34;这个程序确定了一些例子，然后我测试了其中几个并从中选择了一个。

一些结论：

• 伽罗瓦发电机似乎比我的更坚硬。在所有相关图上，可以观察到明确的几何图案（一些种子产生＆＃34;棋盘＆＃34;图案，这里未示出），即使它不是由线组成。我的生成器也显示模式，但随着更多代，它们的定义变得越来越少。

• Galois生成器的一部分结果包括高字节中的位似乎本质上是刚性的，我的生成器似乎没有这个属性。这是一个弱假设，但可能需要进行更多的研究（看看Galois发电机是否总是这样，而不是我的其他位组合）。

• 伽罗瓦生成器缺少零（最大周期为2 ^ 16-1）。

• 截至目前，不可能为20位以上的发电机生成一套好的种子。

后来我可能会更深入地寻求用Diehard测试发生器，但到目前为止，缺乏为它生成足够大的种子的能力使它变得不可能。

Answer 1

这是某种形式的非线性移位反馈寄存器。我不知道它是否已被这样使用，但它在某种程度上类似于线性移位反馈寄存器。阅读此Wikipedia页面作为LSFR的介绍。它们经常用于伪随机数生成。

然而，您的伪随机数生成器本质上是坏的，因为先前生成的数字的最高位与下一个生成的数的最低位之间存在线性相关。您将最高位B移出，然后新数字的最低位将是XOR或B，加法常数num1的最低位和XORed常数num2的最低位，因为二进制加法是等效的独占或最低位。您的PRNG很可能还有其他类似的缺陷。创造良好的PRNG很难。

但是，我必须承认C64代码非常紧凑！