稀疏LU与部分透视

Question

我想在稀疏矩阵上使用部分旋转执行LU分解。 似乎完全旋转对于稀疏矩阵非常快速和有效，并且部分对稀疏矩阵不是有效的。我的猜测是它不支持或优化稀疏。

A=randn(1e4).*(rand(1e4)<0.0001); 
S=sparse(A);

tic; [l,u,p]=lu(A); toc
Elapsed time is 8.699264 seconds.

tic; [l,u,p,q]=lu(S); toc
Elapsed time is 0.006430 seconds.

第二个完全旋转非常快（1400倍）

我的问题是，它怎么可能？当矩阵稀疏时，部分旋转LU是否应该更有效，并且总是（或几乎总是）比完全旋转更快？

有没有人知道如何在稀疏矩阵上使用部分旋转来执行快速LU？

谢谢， 吉尔

Answer 1

我觉得我必须澄清一些事情：

1. 您是否知道您正在处理[l u p]版本中的完整矩阵，而不是稀疏矩阵？

2. 部分旋转用于获得数值稳定性，而不是提高性能。

3. 完全旋转用于减少分解稀疏矩阵时发生的 fill 的数量（不适用于完整矩阵）。通过以最佳方式对两者行和列进行排序，性能显着提高。

速度增加的原因是因为非零沿对角线排列。但是：

“稀疏与条目的结构有关：对角线周围的零带，在它外面为零。”不正确。

稀疏矩阵是一个主要包含零的矩阵，表示三个向量（行，列和值）。

sparse()是将完整矩阵转换为稀疏矩阵的完美有效方法。 Duffymo的声明：“如果需要一个完整的矩阵并将其映射到稀疏矩阵数据结构中，那么它当然会变慢。”，是不正确的，只要完整的矩阵主要包含零。

尝试以下方法：

S = sprand(100,100,0.01);
[l, u, p] = lu(S);
spy(l)
figure
spy(u)

现在，执行以下操作：

[ll, uu, pp, qq] = lu(S);
spy(ll);
figure
spy(uu);

查看l和u的结构。你可能会得到一个线索，为什么在完全旋转时事情会更快。

此外，当你尝试解决这个问题时，它并不是更快的因子化部分，它是后来的替代部分。