Question

如何在MATLAB中实现函数lu(A)，以便L*U直接A，我也得到真正的L矩阵？

当我使用[L,U] = lu(A)时，MATLAB没有给我正确的L矩阵。当我使用[L,U,P] = lu（A）时，我需要实现P*A = L*U，但我只想将L*U乘以接收A.

Answer 1

默认情况下，MATLAB的lu始终执行旋转。例如，如果您尝试使用传统的LU分解算法时，对角线系数等于0，则在执行高斯消元法创建上三角矩阵U时，由于需要对角线系数，因此无效。所以你会得到零除错误。需要旋转以确保分解稳定。

但是，如果你可以保证矩阵的对角线系数不为零，那么它非常简单，但你必须自己编写。您所要做的就是在矩阵上执行高斯消元法，并将矩阵缩减为梯形缩减形式。结果减少梯形形式矩阵为U，而去除高斯消除中L的下三角形部分所需的系数将放置在下三角形半部以构成U。

假设你的矩阵存储在A中，这样的东西可以工作。请记住，我在这里假设一个方阵。非旋转LU分解算法的实现放在名为lu_nopivot的MATLAB函数文件中：

function [L, U] = lu_nopivot(A)

n = size(A, 1); % Obtain number of rows (should equal number of columns)
L = eye(n); % Start L off as identity and populate the lower triangular half slowly
for k = 1 : n
    % For each row k, access columns from k+1 to the end and divide by
    % the diagonal coefficient at A(k ,k)
    L(k + 1 : n, k) = A(k + 1 : n, k) / A(k, k);

    % For each row k+1 to the end, perform Gaussian elimination
    % In the end, A will contain U
    for l = k + 1 : n
        A(l, :) = A(l, :) - L(l, k) * A(k, :);
    end
end
U = A;

end

作为一个运行的例子，假设我们有以下3 x 3矩阵：

>> rng(123)
>> A = randi(10, 3, 3)

A =

     7     6    10
     3     8     7
     3     5     5

运行算法给我们：

>> [L,U] = lu_nopivot(A)

L =

    1.0000         0         0
    0.4286    1.0000         0
    0.4286    0.4474    1.0000   

U =

    7.0000    6.0000   10.0000
         0    5.4286    2.7143
         0         0   -0.5000

将L和U相乘得出：

>> L*U

ans =

     7     6    10
     3     8     7
     3     5     5

...这是原始矩阵A。

Answer 2

您可能要考虑执行LDU分解，而不要考虑未分解的LU。可以看到，没有旋转的LU在数值上是不稳定的-即使对于全秩和可逆的矩阵也是如此。上面提供的简单算法说明了原因-所涉及矩阵的每个对角元素都存在除法。因此，即使对角线上的任何地方都为零，即使矩阵仍然可以是非奇异的，分解也会失败。

Wikipedia在这里讨论了有关LDU分解的问题：

https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition#LDU_decomposition

，没有引用算法。它引用了以下教科书以证明其存在：

角，罗杰·A。 Johnson，Charles R.（1985），《矩阵分析》，剑桥大学出版社，ISBN 978-0-521-38632-6。请参阅第3.5节。

LDU被保证存在（至少对于可逆矩阵而言），在数值上是稳定的，并且它也是唯一的（假设L和U都被限制在对角线上具有单位元素）。

然后，如果由于任何原因“ D”妨碍您，您可以将对角矩阵D吸收为L（L：= L D）或U（U：= D U），或在L和U之间对称拆分（例如L：= L * sqrt（D）和U：= sqrt（D）* U），或者您也可以这样做。将LDU分为LU的方法有无数种，这就是LU分解不是唯一的原因。

Answer 3

您可以使用此技巧（尽管如上所述，您可能会失去数值稳定性）：

[L, U] = lu(sparse(A), 0)

在MATLAB中执行LU分解而不进行旋转

3 个答案: