通过选择根节点来减小广度优先树的深度

Question

如果可以在图形中随机选取根节点，是否存在一个选择根节点的现有算法，使得生成的广度优先树具有最小的深度或高度？

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我有一种预感，我应该选择具有最大扇出的节点作为根节点。

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我举一个例子。

有一个循环有向图{（0,1），（1,2），（1,5），（1,6），（2,3），（3,4），（4,2） ），（5,2），（6,0）}

如果选择节点0作为根，则广度优先树为{（0,1），（1,2），（1,5），（1,6），（2,3），（3,4） ）} 深度为5

如果选择节点6作为根，则广度优先树为{（6,0），（0,1），（1,2），（1,5），（2,3），（3,4） ）} 深度为6

Answer 1

我假设你正在谈论一个加权图，否则它作为root从不同节点做BFS没有多大区别。

一种天真的暴力方法是将图的每个节点视为根并构造BFS树。每次测量高度，在覆盖所有节点作为根之后，我们得到BFS树产生最小高度的节点。做到这一点，你最终可能会花费指数时间。时间：O(n * (v + e) + logxn)对于每个节点我们为每棵树做BFS +我们在树中计算高度x级别。但我怀疑动态编程我们可以把这个时间带到一个更易于管理的层面。由于我们在每个阶段存储结果，因此我们可以将其重复用于以后的计算。

另一种想到的方法是optimal binary search tree.你所做的就是处理你的图表＆amp;将每个节点的权重整理成一个数组。使用这个权重，我们将构造一个BST，使得具有最大权重的节点将落在BST的根附近，并且具有较小权重的节点将在BST中降低（一些可能作为叶子）。这样在BST中搜索您找到节点的可能性就更好了。

更新以扩展上述方法 -

上面的递归很简单，我们逐个尝试每个节点作为根r。 r与i to j不同。我们递归地计算从i到r-1和r + 1到j的最优成本，其中r作为根。我们从i到j添加权重（或频率）的总和（参见上面公式中的第一项），这是因为每次搜索都将通过root进行，并且每次搜索都会进行一次比较。

希望这会有所帮助......