Question

当我感到无聊时，我检查了重新定义MARKOV链的转移矩阵的平稳定理。所以我定义了一个简单的例子：

>> T=[0.5 0.5 0; 0.5 0 0.5; 0.2 0.4 0.4];

静止定理说，如果你计算过渡矩阵到一个非常高的幂，那么你将得到静止矩阵，它的主要成分在行。所以试试吧：

>> T^1000
ans =

0.4211    0.3158    0.2632
0.4211    0.3158    0.2632
0.4211    0.3158    0.2632

到目前为止一切都很好。让我们继续：

>> T^1000000000
ans =

0.4211    0.3158    0.2632
0.4211    0.3158    0.2632
0.4211    0.3158    0.2632

好的......好的。我们再多花一点零：

>> T^10000000000

ans =

0.4210    0.3158    0.2632
0.4210    0.3158    0.2632
0.4210    0.3158    0.2632

???有些事情发生了变化......让我们尝试更多：

>> T^10000000000000000

ans =

1.0e-03 *

0.5387    0.4040    0.3367
0.5387    0.4040    0.3367
0.5387    0.4040    0.3367

这里发生了什么，甚至行数总和不再是1

 >> T^10000000000000000000

 ans =

 0     0     0
 0     0     0
 0     0     0

Aaaand已经不见了。

我用R2011a尝试了这个。我猜在背景中有一些奇特的算法，它近似于矩阵的这种高功率。但这怎么可能发生呢？哪种算法能够在这样的计算中快速执行，并且在这种极端情况下会出现这种错误？

Answer 1

可以使用Eigen Decomposition以便可以达到这样的速度

实际计算负荷正在进行这种分解，然后通过计算本征值的功率，可以容易地计算功率。它还说明了为什么将计算分成像2这样的较小权力需要花费更多时间的原因。

Answer 2

一个人都说过，原因是浮点精度。解决方案？可变精度算术，在符号数学工具箱中，如果有的话。只需使用vpa初始化矩阵，如下所示：

T=vpa([0.5 0.5 0; 0.5 0 0.5; 0.2 0.4 0.4],100);

从T^10000000000000000000获得正确的输出：

[0.42105263157894736842099364708441, 0.31578947368421052631574523531331, 0.26315789473684210526312102942776]
[0.42105263157894736842099364708441, 0.31578947368421052631574523531331, 0.26315789473684210526312102942776]
[0.42105263157894736842099364708441, 0.31578947368421052631574523531331, 0.26315789473684210526312102942776]

MATLAB中矩阵的不精确性

2 个答案: