正式为计算机科学家证明地板和天花板的功能

Question

这确实是一种我必须完成的练习，但是一点方向就会很精彩。我必须确定我是否应该证明或反驳这三个陈述......

我对地板和ceil的定义非常基本。我不打算把它们放在这里。一旦我确定他们是否需要证明/反证，我就必须努力实现这一目标。

我的预感是，第一个需要防伪，因为不是所有X和Y地板和天花板相等的小于它们的地板乘以的情况。这似乎太严格了。

第二个陈述似乎不那么严格。地板时间ceil大于地板xy ......这是非常可能的。

第三，似乎也有可能，但大多数时候我打赌他们的价值相等。

想知道我是否走在正确的轨道上。对不起我的记谱法，我不想使用正式的数学符号。我必须为每个人写一份正式而严谨的证据。

Answer 1

Graham，Knuth和Patashnik撰写的一本精彩的书将使你非常精通地板和天花板，以及其他一些有用的东西。Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science。这很有趣，你应该阅读它！

对于您的具体问题，每个都有简单的示例/反例：

1. “对于所有的x，对于所有的y，floor（x）* ceil（y）＆lt; = floor（xy）” - 只取x = 1，y不是整数：那就是说ceil（y）≤ （y），这显然不是真的。
2. “一些X，一些Y，地板（x）* ceil（y）＆gt; = floor（xy）” - 再次，取x = 1，任何y：然后它说ceil（y）≥floor（ y），这是真的。
3. “对于所有X，对于所有Y，地板（x）* ceil（y）＆gt; ceil（xy）” - 再次取x = 1！它说ceil（y）＆gt; ceil（y），这不可能是真的。事实上，你可以通过以下方式获得严格的收益。 x = 0.99且y为正：则左侧为0，右侧为正。

Answer 2

1. 反例：x = 2.9，y = 2.9; ⎣x⎦= 2; ⎡y⎤= 3; ⎣xy⎦= 8。
2. 考虑x = 2.4，y = 2.4，但是∃x∃y⎣x⎦.⎡y⎤≥⎣xy⎦不是一个非常强烈的陈述。
3. 反例：x = 2，y = 2; ⎣x⎦= 2，⎡y⎤= 2，⎡xy⎤= 4。

我没有必要努力找到合适的例子。