我有一个有n个节点的给定树。任务是找到给定树的子树数，其补充的出口边缘小于或等于给定的数字K.
例如：如果n=3和k=1
，给定的树是1---2---3
然后总有效子树将是6
{}, {1}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3}
我知道我可以枚举所有2^n树并查看有效树，但是有一些方法更快吗？我可以在n中实现多项式时间吗？接近O(n^3)甚至O(n^4)的东西都会很好。
编辑：对于k = 1，此值结果为2*n
答案 0 :(得分：3)
这是一个典型的DP-on-a-tree范例。让我们通过允许指定根顶点v并以两种方式对小边界树的计数进行分层来略微概括问题：是否包括v，以及边界包含多少边。
基本案例很简单。没有边缘，因此有两个子树：一个包括v，另一个包括v，两者都没有边界边。否则，让e = {v，w}成为v的边缘事件。实例看起来像这样。
|\ /|
| \ e / |
|L v-----w R|
| / \ |
|/ \|
递归计算以L为根的分层计数，以及以w为根的R。
包含v的子树由L中的子树组成，其包括v，加上可选的e和R中包含w的子树。不包括v的子树由L中不包含v的子树或R中的子树（重复计算空树）组成。这意味着我们可以通过将L的分层计数与R的分层计数进行卷积来获得分层计数。
以下是您的示例的工作原理。让我们选择根1。
e
1---2---3
我们选择e如图所示并递归。
1
包含-1的向量是[1]，因为一个子树是{1}，没有边界。排除-1的向量是[1]，因为一个子树是{}，也没有边界。
2---3
我们计算2和3，就像我们做的那样1.包含-2的向量是[1,1]，因为{2,3}没有边界边，{2}有一个。我们通过添加2的包含-2向量来获得此向量，由于新的边界边缘将[0,1]移位到包含2的向量2的卷积，包含-3向量用于3 ，[1,0]。排除-2的向量是[1] + [1,1] - [1] = [1,1]，其中[1,1]是移位的包含-3向量和排除-3向量的总和，减法是为了补偿重复计算{}。
现在，对于原始调用，为了获得包含1的向量，我们将[0,1]，包含-1的向量1加1，转换为[1]与[1,1]的卷积，获得[1,2]。要检查：{1,2,3}没有边界，{1}和{1,2}有一个边界边。排除-1矢量是[1] + [1,2,1] - [1] = [1,2,1]。要检查：{}没有边界，{2,3}和{3}有一个边界边，{2}有两个边界边。
答案 1 :(得分：2)
这是David Eisenstat解决方案的python实现：
from sys import stdin
from numpy import *
from scipy import *
def roundup_pow2(x):
"""
Round up to power of 2 (obfuscated and unintentionally faster :).
"""
while x&(x-1):
x = (x|(x>>1))+1
return max(x,1)
def to_long(x):
return long(rint(x))
def poly_mul(a,b):
n = len(a) + len(b) - 1
nr = roundup_pow2(n)
a += [0L]*(nr-len(a))
b += [0L]*(nr-len(b)) # pad with zeros to length n
u = fft(a)
v = fft(b)
w = ifft(u*v)[:n].real # ifft == inverse fft
return map(to_long,w)
def pad(l,s) :
return l+[0L]*(s-len(l))
def make_tree(l,x,y):
l[x][y]=y
l[x].pop(y)
for child in l[x]:
make_tree(l,child,x)
def cut_tree(l,x) :
if len(l[x])==0:
return [1L],[1L]
y,_ = l[x].popitem()
ai,ax=cut_tree(l,x)
bi,bx=cut_tree(l,y)
ci=[0L]+ai
tmp=poly_mul(ai,bi)
padlen=max(len(ci),len(tmp))
ci=pad(ci,padlen)
tmp=pad(tmp,padlen)
ci=map(add,ci,tmp)
cx=[0L]+bi
padlen=max(len(cx),len(bx),len(ax))
cx=pad(cx,padlen)
bx=pad(bx,padlen)
ax=pad(ax,padlen)
tmp=pad([-1],padlen)
cx=map(add,cx,bx)
cx=map(add,cx,ax)
cx=map(add,cx,tmp)
return ci,cx
n,k = map(int,raw_input().split())
l=[{}]
for i in range(1,n+1):
d={}
l.append(d)
for i in range(1,n):
x,y = map(int,raw_input().split())
l[x][y]=y
l[y][x]=x
make_tree(l,1,0)
i,x = cut_tree(l,1)
padlen=max(len(i),len(x))
i=pad(i,padlen)
x=pad(x,padlen)
combined=map(add,i,x)
sum=0L
for i in range(0,k+1) :
sum+=combined[i]
print sum
答案 2 :(得分：0)
让我们创建一个稍大一点的树，如下所示。
1
/ | \
2 3 \
/ 4
7 / \
5 6
让我们为每个节点'a'定义一个函数F（a，k），并从节点'a'和以下节点移除'k'边。 也就是说，如果从节点``a''中删除了``k''条边，那么我们将创建F（a，k）个子树。 （如果'a'不是root，则假定它已连接到其父级。）
例如在上面的树（F（4，1）= 2）中，因为我们通过删除'4'下的2条边来创建2棵树 （我们假设4连接到父树，并且子树（5）和（6）不在F（4,1）内计算）
我们先遍历并计算每个孩子的“ F”。然后使用孩子的F 父母F。
对于所有k，叶节点的F（a，k）为'0'
对于非叶子节点。
F（a，k）= SUM（F（child，k））+ Z
虽然F（child，k）可以递归计算。
另一方面，Z是通过找到某个孩子服用的所有组合来计算的 ri超出k，使得SUM（ri）= k
通过编程，可以通过为给定的孩子固定'j'边，然后 计算通过将“ k-j”边分布给其他子代而创建的树的数量。
例如在上面的树中
F(1, 3) = F(2, 3) + F(3, 3) + F(4, 3) + // we pass k as-is to child
F(2,1)*F(3,1)*F(4,1) + F(2,1)*F(3,2) + F(2,1)*F(4,2) + //consume 1 edge by 2 and distribute 2 to other children
F(2, 2)*F(3,1) + F(2,2)*F(4,1) + // consume 2 edges from node '2' and 1 for other children
F(3,1)*F(4,2)
如上所述，我们为节点2固定了“ r”边缘，然后将“ 3-r”边缘分配给了其他子节点。 我们一直对所有'1'的孩子执行此操作。
此外，当我们从父节点分离节点时，我们会创建子树。
例如在上述情况下，当我们计算F（1，3）时，我们创建了以下内容
独立的树木。
detached_tree + = F（2，2）+ F（3，2）+ F（4，2）
在这里，我们假设通过将子节点与父节点分离来消耗一条边，
在子节点中，如果我们消耗'k-1'边，我们将创建F（child，k-1）子树。
这些树分别计数并存储在detached_trees中。
一旦计算出所有节点的F（a，k）。
所有k的子树总数为'SUM（F（root，k））'+'总节点数-1'+ detached_trees。
我们在总数中添加了“总节点数-1”。这是因为当节点（根除外）分离时 从一棵树中，它创建了两棵树，其中缺少1条边。虽然其中一棵树被计数 在F（parent，1）中，另一个不在任何地方计数，因此需要总计。
这是上述算法的C代码。可以进一步优化递归。
#define MAX 51
/* We use the last entry of alist to store number of children of a given node */
#define NUM_CHILD(alist, node) (alist[node][MAX])
int alist[MAX][MAX+1] = {0};
long F[MAX][MAX]={0};
long detached_subtrees = 0;
/*
* We fix one of the child node for 'i' edges out of 'n', then we traverse
* over the rest of the children to get 'n-i' edges, we do so recursivly.
* Note that if 'n' is 1, we can always build a subtree by detaching.
*/
long REST_OF_NODES_SUM(int node, int q, int n)
{
long sum = 0, i, node2, ret = 0, nd;
/* fix node2 and calcualte the subtree for rest of the children */
for(nd = q; nd < NUM_CHILD(alist, node); nd++) {
node2 = alist[node][nd];
/* Consume 'i' edges and send 'n-i' for other children of node */
for (i = 1; i < n ; i++) {
sum = REST_OF_NODES_SUM(node, nd + 1, n - i);
ret += (F[node2][i] * sum);
/* Add one for 'node2' getting detached from tree */
if (i == 1) { ret += sum; }
}
ret += F[node2][n];
/* If only one edge is to be consumed, we detach 'node2' from the tree */
if (n == 1) { ret++; }
}
return ret;
}
void get_counts(int N, int K, int node, int root)
{
int child_node;
int i, j, p, k;
if (NUM_CHILD(alist, node) == 0) { return; }
for(i = 0 ; i < NUM_CHILD(alist, node); i++) {
child_node = alist[node][i];
/* Do a recursive traversal of all children */
get_counts(N, K, child_node, node);
F[node][1] += (F[child_node][1]);
}
F[node][1] += NUM_CHILD(alist, node);
for (k = 2; k <= K; k++) {
for(p = 0; p < NUM_CHILD(alist, node); p++) {
child_node = alist[node][p];
F[node][k] += F[child_node][k];
/* If we remove this child, then we create subtrees in the child */
detached_subtrees += F[child_node][k-1];
/* Assume that 'child_node' is detached, find tree created by rest
* of children for 'k-j' edges */
F[node][k] += REST_OF_NODES_SUM(node, p + 1, k - 1);
/* Fix one child node for 'j' edges out of 'k' and traverse over the rest of
* children for 'k - j' edges */
for (j = 1; j < k ; j++) {
if (F[child_node][j]) F[node][k] += (F[child_node][j] * REST_OF_NODES_SUM(node, p + 1, k - j));
}
}
}
}
void remove_back_ref(int parent, int node)
{
int c;
for (c = 0; c < NUM_CHILD(alist, node); c++) {
if (alist[node][c] == parent) {
if ((c + 1) == NUM_CHILD(alist, node)) {
NUM_CHILD(alist, node)--;
alist[node][c] = 0;
} else {
/* move last entry here */
alist[node][c] = alist[node][NUM_CHILD(alist, node)-1];
alist[node][NUM_CHILD(alist, node)-1] = 0;
NUM_CHILD(alist, node)--;
}
}
}
}
/* go to each child and remove back links */
void normalize(int node)
{
int j, child;
for (j = 0; j < NUM_CHILD(alist, node); j++) {
child = alist[node][j];
remove_back_ref(node, child);
normalize(child);
}
}
long cutTree(int N, int K, int edges_rows, int edges_columns, int** edges)
{
int i, j;
int node, index;
long ret = 0;
/* build an adjacency list from the above edges */
for (i = 0; i < edges_rows; i++) {
alist[edges[i][0]][NUM_CHILD(alist, edges[i][0])] = edges[i][1];
alist[edges[i][1]][NUM_CHILD(alist, edges[i][1])] = edges[i][0];
NUM_CHILD(alist, edges[i][0])++;
NUM_CHILD(alist, edges[i][1])++;
}
/* get rid of the back links in children */
normalize(1);
get_counts(N, K, 1, 1);
for (i = 1; i <= K; i++) { ret += F[1][i]; }
/* Every node (except root) when detached from tree, will create one extra subtree. */
ret += (N - 1);
/* The subtrees created by detaching from parent */
ret += detached_subtrees;
/* Add two for empty and full tree */
ret += 2;
return ret;
}
main(int argc, char *argv[])
{
int **arr;
int ret, i, N, K, x, y;
scanf("%d%d", &N, &K);
arr = malloc((N - 1) * sizeof(int*));
for (i = 0; i < (N - 1); i++) { arr[i] = malloc(2*sizeof(int)); }
for (i = 0; i < N-1; i++) { scanf("%d%d", &x, &y); arr[i][0] = x; arr[i][1] = y; }
printf("MAX %d ret %ld\n", MAX, cutTree(N, K, N-1, 2, arr));
}