Question

我不确定在Mathoverflow上是否会更好地问这个问题，但我想我会先在这里查看。我试图尽可能简洁明了;如果有任何需要清理的地方请告诉我。

背景

我在R3中有两组点，以（或多或少）任意定向的椭圆体的形式分布。我希望在这两个椭圆体之间插入一个管状结构。我还有这个管状结构所需中心线的坐标。

我使用在Matlab中实现的Khachiyan算法[1]近似椭圆体的最小体积，使用Khachiyan算法，它返回椭圆体（C）中心的坐标，以及中心形式的椭圆矩阵（ A），这样：

(x - C)' * A * (x - C) = 1

然后我使用奇异值分解提取椭圆体的轴长度（a，b，c）和旋转矩阵（V）：

[U,D,V] = svd(A);
a = 1/sqrt(D(1,1));
b = 1/sqrt(D(2,2));
c = 1/sqrt(D(3,3));

我可以轻松插入轴长度参数（例如线性，样条曲线）。要在方向之间进行插值，我首先将旋转矩阵转换为四元数表示。然后对于沿中心线的每个点，我使用另一个Matlab文件[2]中实现的球面线性插值（SLERP）：

for iPoint = 1 : nPoints
  t = iPoint / (nPoints + 2);
  quat = slerp(startQuat,endQuat,t,0.001);
  R = quat2rot(quat);
end

这是我被卡住的地方。

不幸的是，即使SLERP“在其四元数端点之间给出了最直和最短的路径，”[3]得到的插值椭球有时在“错误”方向上旋转。也就是说，插值不是产生光滑的管，而是产生一种扭曲的椭圆柱（见下图所示）。

我已经尝试检查两个四元数的点积是否为负数，如果是，则使用quatinv反转其中一个。但是，反转会导致完全错误（参见下面的第二张附图）。

我的问题是：为什么会发生这种情况，我该怎么做才能纠正这种行为？也就是说，如何沿两个椭球方向之间的“真实”最短路径进行插值？

任何建议都将不胜感激！

更新

我创建了一个最小工作示例和一个必需的数据文件。我还附上了结果的截图。我将它们压缩并上传到Dropbox。 [4]

[1] http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/9542-minimum-volume-enclosing-ellipsoid/content/MinVolEllipse.m

[2] http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/11827-slerp/content/slerp.m

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Slerp

[4] https://dl.dropboxusercontent.com/u/38218/ellipsoidInterpolation.zip

Answer 1

解决方案是通过一个参考椭圆体的旋转矩阵的倒数来旋转所有物体，使得该参考椭球体是轴对齐的（即没有旋转）。然后在插入每个椭球后，通过乘以原始旋转矩阵将其旋转回原始参考帧。

我附上了结果截图：

enter image description here

<强>更新

显然这在每种情况下都不起作用。我发布了一个新问题here。

在两个任意定向的椭圆体之间插值

1 个答案: