Question

mystery(int A[1..n], int n) { 
        // pre: n is a power of 2 for i=1..n {
        for i = 1...n {
            A[i] = A[i] + 1; 
        }
        if (n>1) mystery(A, n/2);
    }

}

我认为最糟糕的情况是，它在O（n）中运行，我是对的吗？

编辑：这是来自另一个旧考试（我们有答案），但以下算法在O（n * log n）时间运行（根据答案）。为什么这样？我虽然这两个应该只有一些常数不同。

void silly (int n)
    if (n>1)
        for (int i=0; i<n; i++)
            output "looping for fun"
        silly(n/2)
        for (int i=0; i<n; i++)
            output "looping for more fun"
        silly(n/2)
        for (int i=0; i<n; i++)
            output "looping for even more fun"

Answer 1

是的，这是O（n）。您可以通过检查值来理智地检查它：

A(1) = 1 iteration
A(2) = 2 + A(1) = 3
A(4) = 4 + A(2) = 7
A(8) = 8 + A(4) = 15
A(16) = 16 + A(8) = 31
A(32) = 32 + A(16) = 63
...

你看到它在线性缩放，其中A（n）基本上是n的线性因子。

回答评论：不，不是O（2n）或O（2n-1）。没有O（2n）。这都是O（n）。请参阅Plain english explanation of Big O。

编辑：您的示例有一个关键区别：它自己调用两次而不是一次。理智再次检查结果。此外，这个版本有一个误导性的功能，因为循环重复三次，但三个在这里是恒定的，如前所述，没有O（n）所以我只计算一个循环：

A(1) = 1
A(2) = 2 + 2 * A(1) = 4
A(4) = 4 + 2 * A(2) = 12
A(8) = 8 + 2 * A(4) = 32
A(16) = 16 + 2 * A(8) = 80
A(32) = 32 + 2 * A(16) = 192
...

那么关系是什么？好吧，如果你解决A（n）（因为n是2的幂）：

A(n) = n + 2 * A(n/2)
     = n + 2 * (n/2 + 2 * A(n/4))
     = 2n + 4 * A(n/4)
     = 2n + 4 * (n/4 + 2 * A(n/8))
     = 3n + 8 * A(n/8)

你可以解决一般情况：

A(n) = log2(n) * n + A(n/n)
     = log2(n) * n + 1 (since A(1) = 1)

这就是O（n log n）的来源。

Answer 2

烨。调用A[i] = A[i] + 1时mystery(..., N)个分配的数量为：

N + N/2 + N/4 + ... + 1

假设N是2的幂，则该系列计算为2 * N - 1。将会有相同数量的i和log2(N)测试增量“N＆gt; 1”，递归调用神秘和分裂。

粗略地说，这是4 * N + 3 * log2(N)次操作（假设它们相同重量......虽然没关系）。

对于某些常数C1和C2，N趋于无穷大的限制在C1 * N到C2 * N操作范围内。换句话说，计算复杂度为O(N)。

Answer 3

我现在正在考虑这个问题的期中考试！

如何，让我们调用此算法的运行时间T（n）。 for循环需要n次，函数调用自身的值为n / 2。所以T（n）= T（n / 2）+ n。

我们可以使用Master Theorem来解决这种复发问题，我们发现该算法采用了Theta（n）

Answer 4

这是O(n)。

推导。您可以使用Master Theorem或更简单的扩展方式派生它：

假设mystry()的运行时为T(n)，则为：

T(n) = n + T(n/2)   # n for the loop, T(n/2) for the recursive call
     = n + (1/2)n + T(n/4)
     = n + (1/2)n + (1/4)n + (1/8)n + ...
     = n (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)
     = n \Sum^{\inf}_{i=0} (1/2^i)
     = n * (2)
     = 2 n = O(n)

这些谜团的运行时间是多少？

4 个答案: