马尔可夫链关于初始状态的固定分布条件

Question

作为马尔可夫链的一个属性，静态分布已被广泛应用于诸如page_rank等许多领域。

然而，由于分布只是转换矩阵的一个属性，与马尔可夫链的初始状态无关。

那么转换矩阵的条件是什么使得初始状态与马尔可夫链无关，所以它最终会在第n次迭代后到达静止分布。

Answer 1

不保证马尔可夫链具有独特的固定分布。例如，考虑两状态马尔可夫链，其中转移矩阵是单位矩阵。这意味着无论初始状态如何，它都不会改变。因此，在这种情况下，没有独立于初始情况的固定分布。

在存在静止分布的情况下，除非初始状态是静止分布，否则仅在n趋于无穷大时才达到静止分布。因此迭代n + 1将更接近于迭代n，但是无论大n是多少，它实际上都不会是静态分布。但是，出于实际目的（即计算机中浮点数的精度限制），在少量迭代后可以很好地达到静止状态。

Answer 2

您需要基础图强烈连接和非周期性。如果你想通过运行一些链来找到周期性马尔可夫链的平稳分布，那么为每个节点添加一些恒定概率的“保持放置”转换，并适当地缩小其他转换。