Question

Gaffer on Games有great article关于使用RK4 integration更好的游戏物理。实现很简单，但背后的数学让我感到困惑。我从概念层面理解衍生物和积分，但很长一段时间没有操纵方程式。

这是Gaffer实施的主要内容：

void integrate(State &state, float t, float dt)
{
     Derivative a = evaluate(state, t, 0.0f, Derivative());
     Derivative b = evaluate(state, t+dt*0.5f, dt*0.5f, a);
     Derivative c = evaluate(state, t+dt*0.5f, dt*0.5f, b);
     Derivative d = evaluate(state, t+dt, dt, c);

     const float dxdt = 1.0f/6.0f * (a.dx + 2.0f*(b.dx + c.dx) + d.dx);
     const float dvdt = 1.0f/6.0f * (a.dv + 2.0f*(b.dv + c.dv) + d.dv)

     state.x = state.x + dxdt * dt;
     state.v = state.v + dvdt * dt;
}

任何人都能用简单的语言解释RK4的工作原理吗？具体来说，为什么我们在0.0f，0.5f，0.5f和1.0f?对衍生工具求平均值。如何将平均导数推广到第4阶不同于进行简单的euler积分一个较小的时间步长？

在阅读下面接受的答案和其他几篇文章后，我掌握了RK4的工作原理。回答我自己的问题：

任何人都可以用简单的语言解释RK4的工作原理吗？

RK4充分利用了这一事实我们可以得到更好的近似值如果我们使用它的功能高阶导数而不是只是一阶或二阶导数。这就是Taylor series的原因收敛比欧拉快得多近似。（看看动画在右侧页）

具体来说，为什么我们在0.0f，0.5f，0.5f和1.0f平均衍生品？

Runge-Kutta方法是一个   近似函数   样品衍生物有几点   在一个时间步之内，不像泰勒   系列只采样衍生物   单点。取样后   这些衍生品我们需要知道如何   称重每个样品得到   最接近的可能。一个   这样做的简单方法就是选择   与...重合的常数   泰勒系列，这是怎么回事   Runge-Kutta方程的常数   确定了。

This article让它更加清晰   我。请注意(15)是怎样的泰勒   系列扩展而(17)是   Runge-Kutta推导。

如果将衍生物平均到4阶不同于如何使用较小的时间步长进行简单的euler积分？

数学上，它收敛很多比做许多欧拉更快近似。当然，够了欧拉近似我们可以获得平等精度为RK4，但计算结果所需的电力并不合理欧拉。

Answer 1

就实际数学而言，这可能有点过于简单，但它是Runge Kutta整合的直观指南。

在某个时间t1给出一些数量，我们想知道另一个时间t2的数量。使用一阶微分方程，我们可以知道t1处该数量的变化率。我们无从谈及其他任何事情;剩下的就是猜测。

Euler积分是最简单的猜测方法：使用t1处精确已知的变化率，从t1线性推断到t2。这通常会给出错误的答案。如果t2远离t1，则此线性外推将无法匹配理想答案中的任何曲率。如果我们从t1到t2采取许多小步骤，我们就会遇到减去相似值的问题。舍入错误将破坏结果。

所以我们改进了猜测。一种方法是继续进行线性外推，然后希望它与真理不太相似，使用微分方程计算t2处的变化率估计值。这与t1处的（准确）变化率平均，更好地表示t1和t2之间的真实答案的典型斜率。我们使用它来进行从t1到t2的新线性外推。我们不应该采用简单的平均值，或者在t1给予更多权重，而不用数学来估计误差，但这里有一个选择。无论如何，这是比欧拉给出的更好的答案。

或许更好，将我们的初始线性外推到t1和t2之间的某个时间点，并使用微分方程计算那里的变化率。这给出了与刚才描述的平均值大致相同的答案。然后使用它进行从t1到t2的线性推断，因为我们的目的是在t2找到数量。这是中点算法。

您可以想象使用变化率的中点估计来对t1到中点的数量进行另一次线性推断。通过微分方程，我们可以更好地估计那里的斜率。使用此功能，我们将从t1一直推断到我们想要答案的t2。这是Runge Kutta算法。

我们可以对中点进行第三次推断吗？当然，这不是非法的，但详细的分析表明改进正在减少，因此其他错误来源主导了最终结果。

Runge Kutta将微分方程应用于初始点t1，两次应用于中点，一次应用于最终点t2。中间点是一个选择问题。可以使用t1和t2之间的其他点来进行斜率的改进估计。例如，我们可以使用t1，这是指向t2的三分之一，另一个是t2的两分之二，以及t2。四种衍生物的平均权重将不同。在实践中，这并没有真正的帮助，但可能在测试中占有一席之地，因为它应该给出相同的答案，但会提供一组不同的舍入错误。

Answer 2

关于你的问题为什么：我记得曾经写过一个布料模拟器，其中布是一系列在节点处相互连接的弹簧。在模拟器中，弹簧施加的力与弹簧拉伸的距离成比例。该力导致节点处的加速度，这导致移动节点的速度，该节点拉伸弹簧。有两个积分（积分加速度来获得速度，积分速度来获得位置）如果它们不准确，则错误滚雪球：太多的加速度会导致太大的速度导致过多的拉伸，从而导致更多的加速度，使得整个系统不稳定。

没有图形很难解释，但我会尝试：假设你有f（t），其中f（0）= 10，f（1）= 20，f（2）= 30。

f（t）在0 <0的区间内的适当积分。 t＆lt; 1会在这段时间内给出f（t）图下的曲面。

矩形规则积分近似于具有矩形的表面，其中宽度是时间上的Δ，并且长度是f（t）的新值，因此在区间0＆lt; t＆lt; 1，它将产生20 * 1 = 20，并在下一个间隔1

现在，如果您要绘制这些点并在其中绘制一条线，您将看到它实际上是三角形，表面为30（单位），因此Euler积分不足。

为了更准确地估计表面（积分），可以采用较小的t间隔，例如在f（0），f（0.5），f（1），f（1.5）和f（2）处进行评估）。

如果您仍然关注我，那么RK4方法就是估算t0

（但正如其他人所说，请阅读维基百科文章以获得更详细的解释.RK4属于numerical integration）

Answer 3

RK4在最简单的意义上是制作一个近似函数，它基于4个导数并指向每个时间步长：您在起始点A的初始条件，基于您时间步骤的数据点A的第一个近似斜率B / 2和A的斜率，第三个近似值C，它具有B处斜率的校正值，以反映函数的形状变化，最后是基于C点校正斜率的最终斜率。

因此，基本上这种方法可以让你使用一个起点，一个平均中点进行计算，该中点在两个部分内置校正以调整形状，以及一个双重校正的终点。这使得每个数据点的有效贡献为1/6 1/3 1/3和1/6，因此大部分答案都是基于对函数形状的校正。

事实证明，RK近似的顺序（Euler被认为是RK1）对应于其精度如何随着较小的时间步长而缩放。

RK1近似值之间的关系是线性的，因此精度的10倍可以获得大约10倍的收敛效果。

对于RK4，精度的10倍可以使收敛效率提高10 ^ 4倍。因此，当您的计算时间在RK4中线性增加时，它会以多项式增加您的精度。

Runge-Kutta（RK4）集成了游戏物理

3 个答案: