给定有向图G =（V，E）和权重函数w：E - > R +（图中边缘只有正权重），我需要找到从V中每个顶点v到给定顶点k的所有最短路径。
我考虑过反转图中的边，然后从顶点k运行Dijkstra's algorithm。我想知道从k到v1的最短路径p是否实际上是原始图形中从v1到k的最短路径（在反转边缘之前）。
如果有人能解释是否以及为什么会这样做，我将不胜感激。
提前致谢。
答案 0 :(得分：2)
（这不是世界上最正式的证据，但希望它足以说服自己）。
假设对于顶点 v ，在图 G 中，从 v 到 k 的最短路径是长度 m 。
你想知道的两件事是：
1.在反转图G *中，从 k 到 v 的路径长度为 m 。
2.在反转图G *中，没有 k 到 v 的路径比 m 短。
在我开始之前，我们可以对信仰采取一件事：
引理1 ：如果你有一个从顶点 v 到顶点 w 的有向路径，并且你反转了路径上的每一条边，那么你有一个从顶点 w 到顶点 v 的路径。这是可以证明的，但我认为这是相当常识。如果你想要我，我会证明这一点。
对于第1点：考虑 G 中从 v 到 k 的路径，包括 m 边缘。如果你反转这些边缘，你将有一条从 k 到 v 的长度为 m 的路径（由引理1 ）。
对于第2点：假设在反转图G *中存在一条路径，从 k 到 v 长度 n ＆lt; 米。如果您反转此路径，那么从 v 到 k （引理1 ）的路径长度 n 。这意味着原始图形中存在从 v 到 k 的路径，该路径比 m 短，与长度路径的语句相矛盾 m 是最短的。