Question

我有一个松散连接的图表。对于此图中的每个边，我知道位置 p处节点 v 和 w 之间的近似距离 d（v，w） （v）和 p（w）为 R3中的矢量，不仅仅是欧氏距离。错误应该很小（比方说＆lt; 3％），第一个节点是＆lt; 0,0,0＆gt;。

如果根本没有错误，我可以用这种方式计算节点位置：

set p(first_node) = <0,0,0>
calculate_position(first_node)

calculate_position(v):
    for (v,w) in Edges:
        if p(w) is not set:
            set p(w) = p(v) + d(v,w)
            calculate_position(w)
    for (u,v) in Edges:
        if p(u) is not set:
            set p(u) = p(v) - d(u,v)
            calculate_position(u)

距离的误差不相等。但为了简单起见，假设相对误差（d（v，w）-d'（v，w））/ E（v，w）是N（0,1） - 正常 - 分散式。我想最小化平方误差的总和

sum( ((p(v)-p(w)) - d(v,w) )^2/E(v,w)^2 ) for all edges

图形可能具有适量的节点（> 100），但节点之间只有一些连接，并且已经“预过滤”（如果这些子图之间只有一个连接，则分成子图）。

我尝试过使用hooks low的简单“物理模型”，但它的速度慢且不稳定。对于这类问题，是否有更好的算法或启发式算法？

Answer 1

这看起来像linear regression。获取以下形式的错误术语，即没有正方形并拆分为单独的坐标：

(px(v) - px(w) - dx(v,w))/E(v,w)
(py(v) - py(w) - dy(v,w))/E(v,w)
(pz(v) - pz(w) - dz(v,w))/E(v,w)

如果我理解正确，您正在为所有节点px(v)寻找值py(v)，pz(v)和v，以便上述术语的平方和为最小化。

您可以通过以下方式创建矩阵 A 和向量 b 来执行此操作：每个行对应于上述形式的等式， A 的每个列对应一个变量，即单个坐标。对于 n 顶点和 m 边缘，矩阵 A 将具有3 m m行（因为你分开坐标）和3 n -3列（因为您还修复了第一个节点px(0)=py(0)=pz(0)=0）。

(px(v) - px(w) - dx(v,w))/E(v,w)的行在1/E(v,w)的列中会有一个条目px(v)，在-1/E(v,w)的列中会有条目px(w)。所有其他列将为零。向量 b 中的相应条目为dx(v,w)/E(v,w)。

现在解决linear equation（ A ^T· A ） x = A ^T· b 其中 A ^T表示的transpose A 的。解决方案向量 x 将包含顶点的坐标。你可以把它分成三个独立的问题，每个坐标方向一个，以保持线性方程组的大小。

使用给定（错误的）节点距离优化图形的布局

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