多维不连续函数的数值积分

Question

我有一个函数f（x）= 1 /（x + a + b * I * sign（x））我想计算

的整体

dx dy dz f（x）f（y）f（z）f（x + y + z）f（x-y - z）

在整个R ^ 3上（b> 0且a，-b为有序单位）。这只是一个代表性的例子 - 实际上我有n＆lt; 7变量和fn的2n-1个实例，其中n个涉及n个积分变量，n-1个涉及积分变量的一些线性组合。在这个阶段，我只对粗略估计感兴趣，相对误差为1e-3左右。

我尝试了以下库：

• 史蒂芬约翰逊的立方码：hcubature算法有效，但非常缓慢，即使n = 2也需要进行数亿次的被积函数评估。
• HintLib：我尝试使用Genz-Malik规则，Cubens例程，VEGAS和MISER与Mersenne扭转器RNG进行自适应集成。对于n = 3，只有第一个似乎是一些可行的选择，但它再次需要数亿次的被积函数评估n = 3和relerr = 1e-2，这并不令人鼓舞。

对于集成区域，我尝试了两种方法：积分超过[-200,200] ^ n（即一个区域如此之大，以致它基本上捕获了大部分积分）和替换x = sinh（t）成为标准技巧。

我对数值分析没有太多经验，但可能困难在于sign（）项的不连续性。对于n = 2和f（x）f（y）f（x-y），沿x = 0，y = 0，x = y存在不连续性。这些在原点周围形成一个非常尖锐的峰值（在各个象限中有不同的符号）和在x = 0，y = 0，x = y处的“脊”类型，被积函数的绝对值很大，并且符号变为你穿过它们。所以至少我知道哪些区域很重要。我在想，也许我可以做蒙特卡罗，但不知何故“告诉”算法提前聚焦的地方。但我不太清楚该怎么做。

如果您对如何使用合理数量的计算能力评估积分或如何使蒙特卡罗“想法”发挥作用，我将非常感激。我已经坚持了一段时间，所以任何输入都会受到欢迎。提前谢谢。

Answer 1

你可以做的一件事就是为你的蒙特卡洛积分使用一个指导函数：给出一个积分（为了简单起见，用1D写它）∫ f （ x ）dx，将其写为∫ f （ x ）/ g （ x ） g < / i>（ x ）dx，并使用g(x)作为您从中x采样的分布。

由于g(x)是任意的，因此构造它使得（1）它具有您希望它们位于f(x)的峰值，以及（2）这样您可以从x采样g(x) 1/(1+x^2)（例如，高斯，或{{1}}）。

或者，您可以使用Metropolis型马尔可夫链MC。它将自己（几乎）找到被积函数的相关区域。 Here是一些微不足道的例子。