如何用二次项求解递归关系

Question

我正试图解决这种递归关系。这是我到目前为止所尝试的，但我认为我错了。我真的很感激一些指导。

这是我试图解决的复发关系： - 2T（n ^ 1/2）+ C

T(n) = 2T(n^1/2) + C
2((2T(n^1/4)+C) + C
>> 4T(n^1/16) + 3C
>> 8T(n^1/256) + 6C

所以我可以将它表达成这个代数表达式： -

 (2^k)T(n^(1/2^k)) + 2k

因此，为了解决递归关系，我只想说

n^(1/(2^k)) = 1
Therefore:-   2k = log (base n) 1
But this makes k = 0....

我不认为这是正确的。请告诉我，我很乐意得到一些帮助！

Answer 1

我的尝试。 （警告：我不确定在这里做替换是正确的。让我们试一试。）

假设T(x) = 1代表x＆lt; 2

与T（1）是禁止的（参见我的评论），所以也许我们可以尝试计算T（2）

T(2) = 2 * T(sqrt(2)) + C = 2 + C

现在我们搜索k n^(1/2^k) = 2 + C

1/(2^k) = log_n(2 + C)       [base n log]
1/log_n(2 + C) = 2^k
log_(2 + C) n = 2^k          [1 / log_a b = log_b a]
lg n / lg (2 + C) = 2^k      [change-of-base]
c2 lg n = 2^k            [since lg (2 + C) is fixed we put c2 = 1 / lg (2 + C)]
k = lg (c2 * lg n) = (lg c2) + lg lg n
k = c3 + lg lg n         [since lg c2 is fixed]

现在我们将k替换为T(N) = 2^k + 2k并找到

T(n) = 2^c3 * lg n + 2*c3 + lg lg n

现在，如果我们把togheter

T(n) = c1 lg n + c2 lg lg n

其中c1和c2是固定的，与我们上面使用的不同。