Question

我正在尝试编写一个函数，使用"Sieve of Sundaram" algorithm计算1..n中的所有奇素数。

这是我的尝试：

sSund :: Integer -> [Integer]
sSund n = [ i * 2 + 1 | i <- [1..n], j <- [f i], (i + j + 2 * i * j) > n ] 
  where f 1 = 1 
        f y = y + 1 --use function f because i don't know how insert 1 into j's list

但它提供了一些错误的数字，如9,15,21,25等。

*Main> sSund 30
[7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53,55,57,59,61]

我做错了什么？

Answer 1

如何运作

Sundaram的seive通过专注于奇数2n + 1，并排除那些数字的乘积。

如果两个数相乘以得到一个奇数，它们必须都是奇数，所以我们的数字2n + 1 =（2i + 1）（2j + 1）。如果我们将其乘以得到2n + 1 = 4ij + 2i + 2j + 1，我们可以简化为2n = 4ij + 2i + 2j，这再次简化为n = 2ij + i + j。所以如果我们可以把它写成2ij + i + j，我们就不想要n。对于任何数字i和j都是如此，但是可以摆脱i＆lt; = j的那些，因为否则你肯定会将相同的数字排除两次。

修复代码

在您的代码中，您生成了一些要排除的数字i + j + 2 * i * j，但实际上您只是排除i而不是i + j + 2 * i * j。 j<-[f i]只会在列表中为您提供一个j值，而不是从i到n的所有数字，您应将其写为[i..n]。< / p>

首先生成排除列表要简单得多：

sSundDelete :: Integer -> [Integer]            
sSundDelete n = [i+j+2*i*j|i<-[1..n], j<-[i..n]]

我决定让i和j介于1和n之间，否则2ij + i + j绝对大于n。

现在我们可以列出不包含这些数字的数字x，然后使用公式2*n+1将它们变为奇数：

sSund :: Integer -> [Integer]
sSund n = let del = sSundDelete n in
     2:[2*x+1 | x <- [1..n], not (x `elem` del)]

哪个正确地给了你

> sSund 30
[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61]

加快速度

但是，它并没有那么快，因为如果你看一下

> sSundDelete 10
[4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,12,17,22,27,32,37,42,47,52,24,31,38,45,52,59,66,73,40,49,58,67,76,85,94,60,71,82,93,104,115,84,97,110,123,136,112,127,142,157,144,161,178,180,199,220]

它的数字比我们需要的要大得多 - sSund 10只能达到2 * 10 + 1 = 21。这意味着我们一次又一次地检查我们的数字，而不是我们没有考虑过的数字！

最简单的做法是重写sSundDelete来说明

sSundDelete n = [i+j+2*i*j|i<-[1..n], j<-[i..n],i+j+2*i*j<=n]

非常像你做的那样，或者

sSundDelete n = filter (<= n) [i+j+2*i*j|i<-[1..n], j<-[i..n]]

使用一些数学来加快速度

这些问题是它们生成了太多数字然后扔掉它们。只生成我们需要的数字会更快。

实际上，我认为最好计算走多远。我们将使用的最小j是i，因此2ij + i + j可以是的最小值是2i ² + 2i。如果我们不希望它超过n，我们想要2i ² + 2i＆lt; = n，我们可以将其重写为2i（i + 1）＆lt; = n。正确性比效率更重要，所以可以稍微超过n，但重要的是不要错过n以下的数字，所以我们可以说2i ²＆lt; = n。这可以表示为i <= floor (sqrt (fromIntegral n / 2))（floor截断小数，因此floor 35.7为35，此处使用fromIntegral将n转换为浮点数（允许非整数）所以我们可以做分裂和平方根。

这很费劲，但现在我们可以计算出i应该走多大的时间：

sSundDelete n = filter (<= n) [i+j+2*i*j|i<-[1..floor (sqrt (fromIntegral n / 2))], j<-[i..n]]

我们可以在j上做类似的工作。我们想要2ij + i + j＆lt; = n，我们可以重新排列说（2i + 1）j＆lt; = n-i，其可以j<=floor( (n'-i')/(2*i'+1)) i'=fromIntegral i和n'=fromIntegral n来完成。这给了我们

sSundDelete n = [i+j+2*i*j|let n'=fromIntegral n,
                           i<-[1..floor (sqrt (n' / 2))],
                           let i' = fromIntegral i,
                           j<-[i..floor( (n'-i')/(2*i'+1))]]

这让我足够快，不会放弃等待sSund 5000来计算第二个素数！

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1 个答案:

如何运作

修复代码

加快速度

使用一些数学来加快速度