给定凸多边形，如何找到定义具有最大面积的三角形的3个点。
相关：该三角形的外接圆是否也会定义多边形的最小边界圆？
答案 0 :(得分：34)
是的，你可以做得比蛮力更好。
蛮力我认为你的意思是检查所有三点，并选择一个最大面积的点。这在 O（n 3 ）时间中运行，但事实证明它不仅可以在O（n 2 ）中进行但在 O（n）时间 ！
[更新： 2017年发表的一篇论文通过示例显示O（n）解决方案不适用于特定类别的多边形。有关详细信息，请参阅this答案。但是O（n 2 ）算法仍然是正确的。]
如果需要，首先对点进行排序/计算凸包（在O（n log n）时间内），我们可以假设我们有凸多边形/船体，其点按照它们在多边形中出现的顺序循环排序。调用点1,2,3，...，n。令（变量）点A，B和C分别从1,2和3开始（以循环次序）。我们将移动A，B，C直到ABC是最大面积三角形。 （这个想法类似于计算rotating calipers时使用的diameter (farthest pair)方法。）
A和B固定，前进C（例如，最初，A = 1，B = 2，C前进到C = 3，C = 4，......）只要三角形的面积增加，即，只要区域（A，B，C）≤区域（A，B，C + 1）。这个点C将是那些固定A和B最大化区域（ABC）的点。（换句话说，函数Area（ABC）是单峰作为C的函数。）
接下来，如果增加面积，则前进B（不改变A和C）。如果是这样，再次按上述方式推进C.然后如果可能的话再次前进B等。这将给出最大区域三角形，其中A作为顶点之一。
（到此为止的部分应该很容易证明，而且对每个A单独执行此操作会得到一个O（n 2 ）算法。）
现在再次推进A，如果它改善区域，依此类推。（这部分的正确性更加微妙：Dobkin和Snyder在他们的论文中给出了证据，但最近的一篇论文显示了一个反例。我还没有理解。）
虽然这有三个“嵌套”循环，但请注意B和C总是向前推进，并且它们总共最多前进2n次（类似A最多前进n次），所以整个过程在O中运行（ n）时间。
Python中的代码片段（转换为C应该很简单）：
# Assume points have been sorted already, as 0...(n-1)
A = 0; B = 1; C = 2
bA= A; bB= B; bC= C #The "best" triple of points
while True: #loop A
while True: #loop B
while area(A, B, C) <= area(A, B, (C+1)%n): #loop C
C = (C+1)%n
if area(A, B, C) <= area(A, (B+1)%n, C):
B = (B+1)%n
continue
else:
break
if area(A, B, C) > area(bA, bB, bC):
bA = A; bB = B; bC = C
A = (A+1)%n
if A==B: B = (B+1)%n
if B==C: C = (C+1)%n
if A==0: break
该算法在Dobkin和Snyder， On a general method for maximizing and minimizing among certain geometric problems ，FOCS 1979中得到证明，上面的代码是他们的ALGOL-60代码的直接翻译。为休息时间结构道歉;它应该可以将它们转换为更简单的while循环。
答案 1 :(得分：4)
回答您的相关问题：
三角形的外接圆不一定是多边形的最小边界圆。为了看到这一点，考虑一个非常平坦的等腰三角形，比如顶点为（0,0），（10,0）和（5,1）。最小边界圆具有中心（5,0）和半径5，但是该圆不接触（5,1）处的顶点，因此它不是外接圆。 （外接圆具有中心（5，-12）和半径13）
修改
选择较小的外接圆或包含多边形直径的对映点的圆也是不够的，因为可以构造具有在最大三角形的外接圆外面的点的多边形。考虑具有顶点的五边形：
(-5, 0)
(-4, -1)
( 5, 0)
( 4, 1)
(-4, 1)
最大三角形的顶点为（-4，-1），（5,0）和（-4,1）。它的外接圆不包括（-5,0）处的点。
答案 2 :(得分：3)
根据this论文，有一类凸多边形，其中ShreevatsaR的答案引用的算法失败了。本文还提出了一种解决问题的O（n log n）分而治之算法。
显然，在所有 A中移动B点和C点的简单O（n 2 ）算法仍然有效。
答案 3 :(得分：0)
三角形的面积= sqrt（（a + b-c）（a-b + c）（ - a + b + c）*（a + b + c））/ 4 如果使用c连接到凸多边形的端点 如果a和b会碰到凸多边形 你可以迭代你的多边形 允许a增长，b缩小，直到找到最大区域。 我会从中间点开始尝试每个方向以获得更大的区域。
答案 4 :(得分：0)
我知道这是一篇旧帖子，但通过参考answer above，我能够修改代码以最大化n边多边形的面积。
注意：使用Emgu OpenCV library找到了凸包。我使用CvInvoke.ContourArea()方法计算多边形的给定面积。这是用C＃编写的。它还假设点按顺时针顺序排列。这可以在方法CvInvoke.ConvexHull()中指定。
private PointF[] GetMaxPolygon(PointF[] convexHull, int vertices)
{
// validate inputs
if(convexHull.Length < vertices)
{
return convexHull;
}
int numVert = vertices;
// triangles are the smalles polygon with an area.
if (vertices < 3)
numVert = 3;
PointF[] best = new PointF[numVert]; // store the best found
PointF[] next = new PointF[numVert]; // test collection of points to compare
PointF[] current = new PointF[numVert]; // current search location.
int[] indexes = new int[numVert]; // map from output to convex hull input.
int[] nextIndices = new int[numVert];
//starting values 0,1,2,3...n
for(int i = 0; i < numVert; i++)
{
best[i] = convexHull[i];
next[i] = convexHull[i];
current[i] = convexHull[i];
}
// starting indexes 0,1,2,3... n
for(int i = 0; i < numVert; i++)
{
nextIndices[i] = i;
indexes[i] = i;
}
// starting areas are equal.
double currentArea = GetArea(current);
double nextArea = currentArea;
int exitCounter = 0;
while(true)
{
// equivelant to n-1 nested while loops
for(int i = numVert - 1; i > 0; i--)
{
while (exitCounter < convexHull.Length)
{
// get the latest area
currentArea = GetArea(current);
nextIndices[i] = (nextIndices[i] + 1) % convexHull.Length;
next[i] = convexHull[nextIndices[i]]; // set the test point
nextArea = GetArea(next);
if (currentArea <= nextArea) // compare.
{
indexes[i]= (indexes[i]+1) % convexHull.Length;
current[i] = convexHull[indexes[i]];
currentArea = GetArea(current);
exitCounter++; // avoid infinite loop.
}
else //stop moving that vertex
{
for(int j = 0; j< numVert; j++)
{
nextIndices[j] = indexes[j];
next[j] = convexHull[indexes[j]];//reset values.
}
break;
}
}
}
// store the best values so far. these will be the result.
if(GetArea(current)> GetArea(best))
{
for (int j = 0; j < numVert; j++)
{
best[j] = convexHull[indexes[j]];
}
}
// The first index is the counter. It should traverse 1 time around.
indexes[0] = (indexes[0] + 1) % convexHull.Length;
for(int i = 0; i < vertices-1;i++)
{
if(indexes[i] == indexes[i+1])// shift if equal.
{
indexes[i + 1] = (indexes[i + 1] + 1) % convexHull.Length;
}
}
//set new values for current and next.
for(int i = 0; i < numVert; i++)
{
current[i] = convexHull[indexes[i]];
next[i] = convexHull[indexes[i]];
}
// means first vertex finished traversing the whole convex hull.
if (indexes[0] == 0)
break;
}
return best;
}
使用的区域方法。这可能会根据最大化需要而改变。
private double GetArea(PointF[] points)
{
return CvInvoke.ContourArea( new Emgu.CV.Util.VectorOfPointF(points),false);
}