给定许多水平和垂直线，如何找到其中有任何子矩形的所有矩形？

Question

我有很多水平和垂直线组成矩形，例如在这个例子中。

是否有算法或代码可以找到每个不包含另一个矩形的矩形。我的意思是，这个图像中最大的矩形不是我正在寻找的矩形，因为它内部包含其他矩形。

我要找的矩形必须是空的。我列出了每一行的起点和终点，如（a，b）到（c，d）。我想要一个矩形列表（x，y，w，h）或等价物。

请注意，某些线条的直线与它们相交，例如，此图像中最宽矩形的顶线是一条线，它有一条相交的垂直线向下。

Answer 1

我认为不同的陈述可以帮助您解决问题。例如，考虑大矩形（末端没有块）。有四个唯一的x和y坐标，对它们进行排序和索引。图示它看起来像这样：

如果坐标(x_i, y_j)上有一个矩形的角落，请将其放入矩阵中，如下所示：

__|_1__2__3__4_
1 | x  x  0  x
2 | x  x  0  0
3 | 0  x  x  x
4 | x  x  x  x

现在根据定义，真实空间中的矩形是矩阵坐标上的矩形。例如，(3,2) (3,4) (4,4), (4,3)处有一个矩形，但它不是“基础”矩形，因为它包含一个子矩形(3,3) (3,4), (4,4), (4,3)。这里很容易看到递归算法，并且为了增加速度，使用memoization来防止重复计算。

Answer 2

A sweep-line algorithm ...

需要的结构：

• V =一组垂直线，按x坐标排序。

• H =水平线的所有起点和终点的集合（并且每个点保持对线的引用）并按x坐标排序。

• CH =一组（最初为空）按当前水平线排序（按y坐标）。

• CR =一组当前矩形的排序（按y坐标）。这些矩形将具有左，上和下坐标，但还不是右坐标。请注意，此集合中不会重叠。

<强>算法：

同时从左到右处理V和H.

每当遇到水平线的开始时，将线添加到CH。

每当遇到水平线的末端时，请从CH中删除它。

每当遇到垂直线时：

• 从CR中删除与该线重叠的所有矩形。对于所有删除的矩形，如果它完全包含在该行中，请将其大小与目前为止的最佳矩形进行比较，并在更好的情况下存储它。

• 在行的底点和顶点之间迭代处理CH中的每个元素，如下所示：

  • 向CR添加一个矩形，最后一个处理点为底部，当前点为顶部，垂直线的y坐标为左侧。

完成。

注意：

当水平起点或终点或垂直线的x坐标相等时，必须维持的以下顺序：

x of horizontal start < x of vertical line < x of horizontal finish

否则你会错过矩形。

Answer 3

这些问题主要由一些标准的Computational Geometry算法来回答。我可以为这个特殊问题考虑vertical sweep line算法。

假设一个矩形由一对点(p1, p2)表示，其中p1是左上角，p2是右下角。并且一个点有两个属性（可以p.x和p.y进行访问。）

这是算法。

1. 对所有点对进行排序 - O(n log n)
2. 初始化名为sweep line status的列表。这将保留到目前为止遇到的所有矩形，即alive。还初始化另一个名为event queue的列表，用于保存即将发生的事件。此event queue目前包含所有rectagles的起点。
3. 处理事件，从event queue中的第一个元素开始。
   • 如果事件是start point，则将该矩形添加到sweep line status（按y坐标排序）（在O(log n)时间内）并将其右下角添加到event queue在适当的位置（按点排序）（再次在O(log n)时间内）。当您将其添加到sweep line status时，您只需要检查此点是否位于sweep line status中位于其上方的矩形中。如果它确实在里面，那么这不是你的矩形，否则，将它添加到你需要的矩形列表中。
   • 如果事件是终点，只需从sweep line status中删除相应的矩形。

运行时间（对于n个矩形）：

• 排序需O(n log n)。
• 事件数量= 2 * n = O(n)
• 每个事件都需要O(log n)时间（适用于event queue以及sweep line status的插入。因此总计为O(n log n)。

因此，O(n log n)。

有关详细信息，请参阅Bentley–Ottmann algorithm。以上只是对此的一个简单修改。

编辑：

刚刚意识到输入是根据线段，但由于它们总是形成矩形（根据问题），预处理的线性遍历可以将它们转换为矩形（点对）形式。

Answer 4

您的所有线条是否与x轴或y轴平行？或者，你的所有线条是平行还是垂直？

从你给出的例子我假设你所有的线都与x或y轴平行。在这种情况下，你的线将是[（a，b），（a，d）]或[（a，b），（c，b）]。

无论如何，第一项任务是找到角落。这是两条垂直线相交的点集。

第二项任务是检测矩形。对于每对角，您可以检查它们是否形成矩形。

第三项任务是找出一个矩形本身是否有任何矩形。

对于第一项任务，您需要将线分为两组：垂直和水平。之后排序其中一组。防爆。根据x轴坐标对垂直线进行排序。然后你可以获取所有水平线并进行二分搜索以找到所有相交点。

对于第二项任务，考虑每对角并查看是否存在其他两个角。如果是，那么看看是否有连接所有这四个角的线。如果是，你有一个矩形。

对于第三项任务，将所有矩形放在间隔树中。之后，您可以检查两个矩形是否重叠。