三角形内的最大曲面

Question

我在准备a时遇到了以下有趣的问题 比赛。

你有一个长度为a, b, c的长三角形和一条长度为L的绳索。你需要找到 表面由绳索包围，具有最大的表面积，并且必须完全在三角形内。

所以，如果是L = a + b + c，那么它就是三角形的区域。

否则，我们知道圆圈的周长面积最大，所以如果L小于或等于三角形内切圆的周长，则该区域将是圆的面积周长L.

所以，剩下的情况是alfa < L < a + b + c，其中alfa是内切圆的周长。

任何想法都会很棒！

EDIT：我想知道是否应该专注于某种算法来解决这个问题 或试图找出一个数学公式。比赛包含两者的组合。边长度可以长达100，a,b,c,L的精度在小数点后是4位数。

Answer 1

由于圆圈具有最大的面积/周长，因此从inscribed circle开始。如果L小于该周长，则适当收缩。如果L更长，则增长3个弧中的任何一个使dA / dL最大化。我不知道是否有一个封闭的形状，但是最大的弧将位于三角形的第3个，并且两侧最接近平行。

在算法上解决这个问题应该是微不足道的。精度为4位小数，递增0.0001检查每个弧，看哪个弧的dA / dL最大。

我在一夜之间绘制了几何图形： 通过将每个角度二等分并找到平分线的交点来构造内切圆。我标记了半角“a1”（并且所有相关变量都为'1'）。非圆形部分的面积是两个梯形（一个用红色轮廓表示）。我们可以将单个梯形的面积计算为L1 *（m1 + R）/ 2（注意，当L1，L2，L3都为零时，这些梯形都为零，我们只得到内切圆区域）。圆形帽的半径为m1，以保持与三角形边相切。对于给定的L1选择，m1 = R（x1-L1）/ x1。

从这里，您可以轻松计算三个扇区中每个扇区的周长和面积，并以数字方式求解。

我无法证明这是最大的区域，只是这是如何计算这种结构的面积和周长。

Answer 2

在阅读了这个问题的答案后：https://math.stackexchange.com/questions/4808/why-circle-encloses-largest-area，我同意n.m.，并认为最佳曲线验证：

• 当曲率接触三角形时，曲率要么是常数要么是平的，这意味着曲率由三角形边上的线段和圆弧组成，它们共用相同的半径。
• 没有角度，这意味着弧线与三角形边相切。

利用这些条件，通过三个相同半径R的圆获得解，每个圆与三角形的两边相切（见下文）。当R在0和内切圆的半径之间变化时，我们从三角形本身开始，并结束到内切圆，其中所有三个圆都重合。曲线的长度是半径R的圆周长+较小三角形的周长（p）：L = 2 * Pi R + p。该区域是较小三角形的区域（a）+半径为R的一个圆盘+剩余的矩形：A = Pi R ^ 2 + p * R + a。

Answer 3

如果绳子的周长太小或太大，答案是微不足道的。有趣的情况是具有6个顶点的形状，其呈线 - 弧 - 线 - 弧 - 线 - 弧。弧与它们的相邻线相切并且它们的半径相等。我没有严格的证据，但想象一个充满空气并挤在三角形两侧之间的2D气球。

很容易表示整体形状，因此给出半径的周长;然后，在数字上很容易找到相反的方向（周长到半径）。

Answer 4

..回答我自己的评论/问题，可以证明半径必须相等，

这是一个有用的公式：

灰色区域A是

A = r^2 ( alpha - Pi + 2/tan(alpha/2) ) /2

但更有用......弧长只是：

s = 2 ( b - A/r )

从这里可以直接看出三个半径必须相等：

书写绳索长度和封闭区域：

ropelength = trianglelength  - 2  Sum[r[i]  a[i]  ]
ropearea = trianglearea -  Sum[r[i]^2  a[i] /2 ]

，其中

 a[i]=( alpha[i] - Pi + 2/tan(alpha[i]/2) )

经过一些操作后，最大化区域会导致所有r [i]相等。注意三个a [i]，ropelength，trainglearea，trianglelength都是你不需要计算的常量。小心翼翼地将r[l] = f( constants, r[2],r[3] ) sub解析为第二个表达式并解析为d ropearea /d r[2] = 0和d /d r[3] = 0的结果：

r =(1/2) (triangle_length - rope_length) /(Sum(1/tan(alpha[i]/2)) - Pi)    

（a [i]的凌乱表达式最后只在最后一步被替换）。

ropearea = trianglearea - (trianglelength-ropelength)^2/(8 Sum[a[i])
     = trianglearea - (1/2)(trianglelength-ropelength)  r

编辑 - 一个有用的身份..与a，b，c，边长。

Sum(1/tan(alpha[i]/2))  = Sqrt( S^3 / ((S-a)(S-b)(S-c)) )
S = 1/2 (a+b+c)   ! S is semiperimeter not to be confused with arc length s 

以上表达式可用于再现内切圆的公式

 rinscribed = Sqrt( ((S-a)(S-b)(S-c))  / S )