在图中查找一组顶点，以便每个顶点可以到达k个其他顶点

Question

令G =（V，E）为有向图，k为整数。我需要在线性时间内找到顶点组，以便该组中的每个顶点可以精确到达k个顶点（包括它自己）。

我想到的第一件事是使用Kosaraju的算法来找到图中强烈连接的组件。连接组件内的每个顶点都可以至少到达此连接组件中的顶点，因此剩下的就是查看组件的连接方式。但是，我没有提出线性解决方案。

任何提示？

感谢。

Answer 1

你的第一步是正确的。每个强连接组件可以用一个顶点替换，对于该顶点，可到达顶点的起始数是该组件中的元素数。在替换操作后，我们得到有向无环图。现在，对于每个超顶点，我们想要找到可以从中获得多少个顶点。一种想法是在拓扑上对该图进行排序。在此操作之后，所有箭头指向一个方向。在不失一般性的情况下，我们可以假设它们指向右侧，因此我们的图形或多或少看起来像这样：

a -> b ----> e -> f -> g
  \             /
    -> c -> d -

对于每个顶点，我们有一个起始计数器，它是从一个强连接组件组装顶点的第一阶段得到的。我们现在想做的是从右到左，每个顶点都有一组可以从中到达的顶点。我们需要的操作是这套的快速合并。这里有帮助Find-Union数据结构。您可以向常规size和rank添加一个字段，该字段将存储可到达顶点的数量，并在union两个集合时更新它。

这将导致几乎线性的时间：O(n * alpha(n))其中alpha(n)与Ackermann函数的反函数非常小。对于大量数据，它不会大于5，因此您可以将其视为常量。

我想知道是否有人可以在没有alpha的情况下成功。

Answer 2

我认为第一个答案是不正确的。您可以从scc图中其子的可访问性的并集为每个节点创建可到达的节点组。但是，为了执行此操作，您需要复制儿子的组（否则您会搞乱他们的可访问性） ）。因此，如果我没有误解，复杂性最小为n * n或实际上为n * E.那是因为副本需要在联合操作之前进行*，所以你需要为每个节点通过n *（数量的子）。这个的复杂性将是n * E + n（alpha（n）） 。完全冗余因此使用union find ..你可以为每个节点使用n个大小的数组。