Question

给定图形 G（V，E）和顶点 v ，如何找到通过简单路径可到达的所有顶点（路径上没有顶点）重复长度正好 k 。

邻接矩阵的幂给出顶点之间的路径数，但它包括非简单路径。

这个问题在多项式时间内是否可以解决？如果没有，是否有任何已知的近似算法。任何文学指南都会很棒。

Answer 1

我只回答第一个问题：“它在多项式时间内是否可以解决？”。

假设它在多项式时间内是可解的。然后为k=|V|-1求解并选择任何结果顶点。删除此顶点并为k=|V|-2解决此问题。生成的顶点集应包含至少一个连接到最后删除的顶点的顶点。删除此顶点并继续k=|V|-i的处理，直到保留单个起始顶点。您刚刚使用多项式时间算法找到原始图的Hamiltonian path。

由于哈密顿路径问题是NP完全的，因此OP中的问题也很难在多项式时间内解决。

Answer 2

下面给出的算法将找到一个节点列表，这些节点的起始节点k的最小距离等于v。 EG：给出三角形图v，A和B if：

k为0，结果为v
k为1，结果包含A和B
k为2或更多，结果为empty

伪代码：

FindNodesWithShortestPath_K(G, v, k):
    create empty list R
    create empty queue Q

    mark v as visited
    set v.distance to 0
    add v to Q

    while Q is not empty:
        t <- dequeue node from Q
        if t.distance == k:
            add t to R
        else if t.distance > k:
            break
        else                
            for all neighbors u of t:
                if u is not marked as visited:
                    mark u as visited
                    u.distance = t.distance + 1
                    enqueue u onto Q

    return result

注：

检查节点是否标记为已访问保证简单路径
节点的初始距离不相关
如果t.distance == k，则t属于R和t邻居（在Q中不是alredy）
if t.distance＆gt; k，即使Q不为空，算法也会停止。给定算法实现，Q中节点的距离不减小
R和Q上的操作可以在O（1）中运行，具体取决于实现。该算法具有O（| E | + | V |）

距离K的顶点

2 个答案: