n个不同元素上的二叉搜索树的数量

Question

可以从n个不同的元素构建多少个二叉搜索树？我们怎样才能找到一个经过数学证明的公式？

  

示例：   如果我们有3个不同的元素，比如1,2,3，那里   是5个二叉搜索树。

Answer 1

给定n个元素，可以从这些元素生成的二叉搜索树的数量由第n Catalan number（表示为C _n ）给出。这等于

直观地说，加泰罗尼亚语数字表示您可以通过以下方式从n个元素中创建结构的方式的数量：

• 将元素排序为1,2,3，...，n。
• 选择其中一个要用作枢轴元素的元素。这将剩余的元素分成两组 - 元素前面的元素和后面的元素。
• 从这两组中递归构建结构。
• 将这两个结构与您删除的一个元素组合在一起以获得最终结构。

此模式完全匹配您可以从一组n个元素构建BST的方式。选择一个元素作为树的根。所有较小的元素必须向左移动，所有较大的元素必须向右移动。然后，您可以从左侧和右侧的元素中构建较小的BST，然后将它们与根节点融合在一起以形成整体BST。使用n个元素执行此操作的方法数由C _n 给出，因此可能的BST数由第n个加泰罗尼亚数给出。

希望这有帮助！

Answer 2

我确信这个问题不仅仅是使用数学公式计算。我花了一些时间编写程序以及计算背后的解释或想法。

我尝试用递归和动态编程来解决它。希望这会有所帮助。

该公式已存在于上一个答案中：

因此，如果您有兴趣学习解决方案并理解应用程序，您可以随时查看我的文章Count Binary Search Trees created from N unique elements

Answer 3

设T（n）为n个元素的嵌套数。

给定n个不同的有序元素，编号为1到n，我们选择i作为根。

这在T（i-1）组合的左子树中留下（1..i-1），在T（n-i）组合的右子树中留下（i + 1..n）。

因此：

T(n) = sum_i=1^n(T(i-1) * T(n-i))

当然T（1）= 1