在O（n）时间内添加平方矩阵？

Question

假设我们有两个大小相同的方形矩阵n，名为A和B。

A和B共享其主对角线对角线中的每个条目具有相同值（即A[0,0] = A[1,1] = A[2,2] ... = A[n,n]和B[0,0] = B[1,1] = B[2,2] ... = B[n,n]）的属性。

有没有办法表示A和B，以便它们可以在O（n）时间内相互添加，而不是O（n ^ 2）？

Answer 1

一般情况下：否。

对于n x n矩阵，要填充n^2个输出值;需要O(n^2)时间。

在您的情况下：否。

即使输入/输出值的O(n)是相关的，也会使O(n^2)独立。因此，没有任何表示可以将整体运行时间降低到O(n^2)以下。

<强>可是...

为了减少运行时间，有必要（但不一定足够）将相关值的数量增加到O(n^2)。显然，这是否可能取决于具体情况......

Answer 2

为了补充Oli Cherlesworth的答案，我想指出，在稀疏矩阵的具体情况中，您通常可以获得O(n)的运行时。

例如，如果您碰巧知道您的矩阵是对角线的，那么您也知道结果矩阵将是对角线的，因此您只需要计算{ {1}}值。 类似地，可以在n中添加带状矩阵，以及更多“随机”稀疏矩阵。通常，在稀疏矩阵中，每行的非零元素的数量或多或少是恒定的（例如，从有限元计算中获得这些元素，或者从图形邻接矩阵等获得），因此，使用适当的表示形式，例如“Compressed row storage”或“压缩列存储”，您最终将使用O(n)操作添加两个矩阵。

还特别提到了次线性随机算法，它只是建议你知道从实际解决方案“不太远”的最终值，直到随机错误。