求解AVL树中节点数的递归关系？

Question

假设我们有这种递归关系，它出现在AVL树的分析中：

• F ₁ = 1
• F ₂ = 2
• F _n = F _{n - 1} + F _{n - 2} + 1（其中n≥3）

如何为F（n）获取封闭形式解决此重现？此数字用于获取AVL tree中具有高度n的最小内部节点数。

Answer 1

有很多方法可以解决这种复发问题，但其中大多数都非常复杂。我认为最简单的方法是扩展系列的几个术语，看看你发现了什么：

• F（1）= 1
• F（2）= 2
• F（3）= 4
• F（4）= 7
• F（5）= 12
• F（6）= 20

如果您看一下，您会注意到以下情况：

• F（1）= 1 = 2 - 1
• F（2）= 2 = 3 - 1
• F（3）= 4 = 5 - 1
• F（4）= 7 = 8-1
• F（5）= 12 = 13-1
• F（6）= 20 = 21-1

看起来这些术语只是Fibonacci系列中的一个术语，从它们中减去1。特别要注意的是F ₃ = 2，F ₄ = 3，F ₅ = 5等。因此，它看起来像模式是

• F（1）= 2 - 1 = F ₃ -1
• F（2）= 3 - 1 = F ₄ -1
• F（3）= 5-1 = F ₅ -1
• F（4）= 8-1 = F ₆ -1
• F（5）= 13-1 = F ₇ -1
• F（6）= 21-1 = F ₈ -1

因此，更一般地说，看起来模式是F（n）= F _{n + 2} - 1.我们可以尝试使用数学归纳法将其形式化：

基本情况：

• F（1）= 1 = 2 - 1 = F ₃ -1
• F（2）= 2 = 3-1 = F ₄ -1

归纳步骤：假设F（n）= F _{n + 2} - 1和F（n + 1）= F _{n + 3} - 1.然后我们有该

• F（n + 2）= F（n）+ F（n + 1）+ 1 = F _{n + 2} -1 + F _{n + 3} - 1 + 1 =（F _{n + 2} + F _{n + 3} ） - （1 + 1）+ 1 = F _{n + 4} - 1 = F _{（n + 2）+ 2} -1

瞧瞧！归纳检查结束。

那么我怎么想用Fibonacci系列来寻找这种模式呢？好吧......递归定义有点像Fibonacci系列的那个，所以我预计它们之间可能存在某种联系。观察一切都是斐波纳契数减一，只是创造性的洞察力。您可能会尝试通过使用生成函数或其他组合技巧来解决这个问题，尽管我不是他们的专家。

希望这有帮助！