Question

我已经实现了Floyd Warshall算法并且它可以工作，但问题是我不知道如何找到所有未定义的路径。我在网上搜索过，但我只能找到如何检测图表是否有负循环的答案。

vector< vector <int> > floyd_warshall(vector< vector<int> > d, int n){
    for(int i = 0; i < n; i++) d[i][i] = 0;

    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            for(int k = 0; k < n; k++){
                if(d[j][i] + d[i][k] < d[j][k] and d[j][i] != INF and d[i][k] != INF){
                    d[j][k] = d[j][i] + d[i][k];
                }
            }
        }
    }

    return d;
}

在图表上运行算法后：

from: to:   weight:
0     1      1
1     2     -1
2     1     -1
1     3      1
4     0      1

我得到了邻接矩阵：

  | 0     1     2     3     4
--|----------------------------
0 | 0    -1    -2    -2     INF
1 | INF  -2    -3    -3     INF
2 | INF  -3    -4    -4     INF
3 | INF   INF   INF   0     INF
4 | 1    -2    -3    -7     0

我知道如果节点i是负循环的一部分，它在矩阵中的位置d [i] [i]处具有负值。因此，如果我检查矩阵的对角线，我可以找到所有节点，这些节点都是负循环的一部分。因此，如果我们查看上面的示例，我们可以看到节点1和2是负循环的一部分。问题是我想找到哪些路径已定义，哪些路径未定义。如果你可以通过负循环来自A到B，那么路径的长度应该是不确定的，因为它可以是任意小的。

所以问题是，我怎样才能找到所有未定义的路径？

我希望算法返回矩阵:(而不是上面的那个）

  | 0     1     2     3     4
--|----------------------------
0 | 0    -INF   -INF    -INF  INF
1 | INF  -INF   -INF    -INF  INF
2 | INF  -INF   -INF    -INF  INF
3 | INF   INF    INF     0    INF
4 | 1    -INF   -INF    -INF  0

其中d [i] [j] = INF表示i和j之间没有路径，-INF表示i和j之间存在任意小路径（路径在某处传递负路径），否则为d [i] [j] i和j之间的最短长度。

我在考虑测试每条路径，但这可能太慢了。必须有一些标准的方法来解决这个问题，对吧？

谢谢

Answer 1

我找到了解决自己问题的方法。

for(int i = 0; i < n; i++)
    for(int j = 0; j < n; j++)    // Go through all possible sources and targets

        for(int k = 0; d[i][j] != -INF && k < n; k++)
            if( d[i][k] != INF && // Is there any path from i to k?
                d[k][j] != INF && // Is there any path from k to j?
                d[k][k] < 0)      // Is k part of a negative loop?

                d[i][j] = -INF;   // If all the above are true
                                  // then the path from i to k is undefined

我认为它应该有效，而且似乎也有效。

Answer 2

我有一个video，可以准确解释Floyd-Warshall算法的工作原理。实质上，Floyd-Warshall算法用于在具有正或负边权重的加权图中找到所有节点对之间的最短路径。

以下算法接受邻接矩阵，其中Double.POSITIVE_INFINITY用于指示两个节点不连接。对于每个节点，您也可能希望将权重0初始化为自身。

此方法更新初始矩阵以指示所有节点对之间的最小距离。如果最短路径任意小，则答案存储为Double.NEGATIVE_INFINITY。如果两个节点无法相互连接，那么它仍然是Double.POSITIVE_INFINITY。这个实现运行Floyd Warshall两次，如果路径长度比以前小，那么我们处于负循环。

static void floydWarshall(double[][] dist) {

  int n = dist.length;

  // Compute shortest paths
  for (int k = 0; k < n; k++)
    for (int i = 0; i < n; i++)
      for (int j = 0; j < n; j++)
        if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
          dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];

  // Identify negative cycles
  for (int k = 0; k < n; k++)
    for (int i = 0; i < n; i++)
      for (int j = 0; j < n; j++)
        if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
          dist[i][j] = Double.NEGATIVE_INFINITY;

}

Answer 3

只要没有负数，Floyd-Warshall算法就会输出正确的结果循环存在于输入图中。在存在负循环的情况下，计算最短（简单）路径是NP难问题而且 Floyd-Warshall算法不会输出正确的结果。

但是可以通过检查矩阵的对角线中是否存在负条目来检测负循环的存在。这在该算法的第8行和第9行完成：

1. M[i, j] := ∞ ∀i 6= j
2. M[i, i] := 0 ∀i
3. M[i, j] := c((i, j)) ∀(i, j) ∈ E(G)

4. for i := 1 to n do
5.   for j := 1 to n do
6.     for k := 1 to n do
7.       if M[j, k] > M[j, i] + M[i, k] 
          then M[j, k] := M[j, i] + M[i, k]

8. for i := 1 to n do
9. if M[i, i] < 0 then return(’graph contains a negative cycle’)

Source

Floyd-Warshall负循环。如何找到所有未定义的路径？

3 个答案: