图的中心点

Question

我在思考如何定位图的中心点时遇到了一些麻烦;也就是说，图表上的节点最小化了与所有其他节点的最大距离。

例如：

假设我有一个包含3个节点的图表，排成一行（如1-2-3）。

显然，很容易看出此图的中心点是2。我怎样才能实现类似的东西呢？

我所知道的唯一算法是BFS / DFS / Prim's /和Kruskal。 Prim和Kruskal的算法并不适用于这种情况。我想我需要在这里使用BFS吗？唯一的问题是，BFS是否会根据您从哪个节点返回不同的顺序？

Answer 1

对于相当密集的图表：

1. 使用Floyd-Warshall algorthm
构建所有最短路径矩阵
2. 在每一行中找到最大值 - 这是相应顶点（节点）的偏心率
3. 选择具有最小偏心率的顶点 - 它们是中心节点（最小偏心率是图形半径）

复杂度O（V ^ 3）（小常数）

如果图表稀疏，您可以使用每个顶点的BFS或Johnson's algorithm

（O（V ^ 2 + V * E），O（V ^ 2 * logV + V * E））

FYE：

0 1 2   //ecc = 2
1 0 1   //ecc = 1 - central point
2 1 0   //ecc = 2

如果您使用树（因为消失的评论中提到了MST） - 有更快的方法：

1. 来自任何顶点的一个BFS
2. 发现最远点的另一个BFS
3. 在第二个BFS的最长路径中获得中间顶点

O（V + E）

Answer 2

Python模块 NetworkX 提供此类API center(G, e=None)。有关实现，请参阅其源代码here。

以佛罗伦萨家族图为例，中心节点用红色着色。

import networkx as nx

G = nx.florentine_families_graph()
center_nodes = nx.center(G)