我知道像mergesort和quicksort这样的算法使用了分而治之的范式，但我想知道为什么它可以降低时间复杂度......
为什么通常“分而治之”的算法比非分而治之的算法效果更好？
答案 0 :(得分：3)
划分和征服算法的工作速度更快，因为它们最终会减少工作量。
考虑二元搜索的经典分而治之算：不是查看N个项目来找到答案，二元搜索最终只会检查它们的Log2N。当然，当你减少工作时，你可以更快完成;这正是分而治之的算法正在发生的事情。
当然，结果很大程度上取决于你的策略在划分工作方面的表现如何：如果每个步骤的分工或多或少都是公平的（即你将工作分成两半），你就会得到完美的Log2N速度。但是，如果除法不完美（例如，快速排序的最坏情况，当它花费O(n^2)对数组进行排序，因为它在每次迭代时只消除了一个元素），那么分而治之的策略没有用，因为你的算法不会减少工作量。
答案 1 :(得分：2)
划分和征服算法“通常不会更好”。它们只是起作用，就像其他非分治算法一样。它们不会降低排序复杂性，它们与其他算法一样好。
答案 2 :(得分：1)
划分和征服作品，因为数学支持它！
考虑一些分而治之的算法：
1）二进制搜索：此算法每次将输入空间减少一半。很明显，这比线性搜索更好，因为我们会避免查看很多元素。
但是，还好多少？我们得到了复发（注意：这是最坏情况分析的复发）： T(n) = T(n/2) + O(1)
数学意味着T(n) = Theta(log n)。因此，这比线性搜索指数级好。
2）合并排序：这里我们分成两个（几乎）相等的一半，对两半进行排序然后合并它们。为什么这要优于二次方？这是重复：
T(n) = 2T(n/2) + O(n)
可以在数学上显示（比如使用Master定理）T(n) = Theta(n log n)。因此，T（n）渐近地优于二次方。
观察天真的快速排序最终会让我们重复最坏情况
T(n) = T(n-1) + O(n)
在数学上，它是二次的，在最坏的情况下，并不比冒泡排序（渐近地说）更好。但是，我们可以证明，在一般情况下，快速排序是O（n log n）。
3选择算法：这是一个征服算法，用于找到第k个最大的元素。这种算法是否优于排序（或者甚至不是二次方法）并不是很明显。
但从数学角度来看，它的复发（最糟糕的情况）似乎是
T(n) = T(n/5) + T(7n/10 + 6) + O(n)
可以在数学上显示T(n) = O(n)，因此它比排序更好。
也许是一种常见的方式来看待它们：
您可以将算法视为树，其中每个子问题都成为当前的子树，并且可以使用完成的工作量标记节点，然后可以为每个节点添加总工作量。
对于二进制搜索，工作是O（1）（只是比较），其中一个子树，工作是0，所以工作总量是O（log n）（本质上是一个路径，就像我们在二叉搜索树中一样。）
对于merge-sort，对于具有k个子节点的节点，工作是O（k）（合并步骤）。在每个级别完成的工作是O（n）（n，n / 2 + n / 2，n / 4 + n / 4 + n / 4 + n / 4等）并且有O（log n）级别，并且所以merge sort是O（n log n）。
对于quicksort，在最坏的情况下，二叉树实际上是一个链表，所以完成的工作是n + n-1 + ... + 1 = Omega（n ^ 2）。
对于选择排序，我不知道如何将其可视化，但我相信它看起来像一棵有3个孩子的树（n / 5,7n / 10和其余的）可能仍然有帮助。