用python求解非线性方程

Question

我从未使用过python，但Mathematica无法处理我想要解决的等式。我试图解决以下等式的变量“a”，其中s，c，mu和delta t是已知参数。

我尝试在Mathematica中做NSolve，Solve等，但是它运行了一个小时没有运气。由于我不熟悉Python，有没有办法用Python来解决这个等式？

Answer 1

你不会找到这些方程的解析解，因为它们是超越的，在三角函数的内部和外部都包含a。

我认为您使用数值解决方案时遇到的麻烦是a的可接受值范围受arcsin的约束。由于arcsin仅针对-1和1之间的参数定义（假设您希望a为实数），因此alpha和beta的公式需要a > s/2 }和a > (s-c)/2。

在Python中，您可以使用f(a) = 0函数找到第三个等式的零（使用brentq形式重写）：

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

s = 10014.6
c = 6339.06
mu = 398600.0
dt = 780.0
def f(a):
    alpha = 2*np.arcsin(np.sqrt(s/(2*a)))
    beta = 2*np.arcsin(np.sqrt((s-c)/(2*a)))
    return alpha - beta - (np.sin(alpha)-np.sin(beta)) - np.sqrt(mu/a**3)*dt

a0 = max(s/2, (s-c)/2)
a = brentq(f, a0, 10*a0)

修改

澄清brentq(f,a,b)的工作方式是，它会在f间隔内搜索[a,b]的零。在此，我们知道a至少是max(s/2, (s-c)/2)。我只是猜测10次这是一个看似合理的上限，并且对于给定的参数起作用。更一般地说，您需要确保f和a之间的b更改符号。您可以在SciPy docs。

中详细了解该功能的工作原理

Answer 2

我认为在试图解决它之前，它值得检查函数的行为。如果不这样做，你就不知道是否有独特的解决方案，许多解决方案，或者没有解决方案。 （最大的问题是许多解决方案，数值方法可能无法为您提供您需要/期望的解决方案 - 如果您盲目地使用它，可能会发生“坏事”）。您可以使用scipy和ipython很好地检查行为。这是一个做这个的示例笔记本

# -*- coding: utf-8 -*-
# <nbformat>3.0</nbformat>

# <codecell>

s = 10014.6
c = 6339.06
mu = 398600.0
dt = 780.0

# <codecell>

def sin_alpha_2(x):
    return numpy.sqrt(s/(2*x))
def sin_beta_2(x):
    return numpy.sqrt((s-c)/(2*x))
def alpha(x):
    return 2*numpy.arcsin( numpy.clip(sin_alpha_2(x),-0.99,0.99) )
def beta(x):
    return 2*numpy.arcsin( numpy.clip(sin_beta_2(x),-0.99,0.99) )

# <codecell>

def fn(x):
    return alpha(x)-beta(x)-numpy.sin(alpha(x))+numpy.sin(beta(x)) - dt * numpy.sqrt( mu / numpy.power(x,3) )

# <codecell>

xx = numpy.arange(1,20000)
pylab.plot(xx, numpy.clip(fn(xx),-2,2) )

# <codecell>

xx=numpy.arange(4000,10000)
pylab.plot(xx,fn(xx))

# <codecell>

xx=numpy.arange(8000,9000)
pylab.plot(xx,fn(xx))

这表明我们希望找到一个介于8000和9000之间的解决方案。 曲线中约为5000的奇数扭结和约4000的早期解是由于 使arcsin表现所需的剪裁。关于a = 5000，实际上这个等式没有意义。 （确切的值是光线解决方案中给出的a0）。然后，这提供了一个很好的范围，可以与光线解决方案中的技术一起使用。