使用sympy计算矩阵的伪逆

Question

我应该如何使用sympy计算矩阵的伪逆（不使用numpy，因为矩阵具有符号常数，我也想要符号中的逆）。正常inv()对于sympy中的非方矩阵不起作用。例如，如果M = Matrix(2,3, [1,2,3,4,5,6]), pinv(M)应该给出

-0.9444   0.4444
-0.1111   0.1111
 0.7222  -0.2222

Answer 1

我认为，因为这是象征性的，所以可以使用线性代数类中教授的教科书公式（例如，参见Moore–Penrose pseudoinverse上维基百科文章中的特殊情况列表）。对于数值评估，pinv使用奇异值分解（svd）。

您有线性独立的行（完整行级别），因此您可以将公式用于“正确的”逆：

>>> import sympy as sy
>>> M = sy.Matrix(2,3, [1,2,3,4,5,6])

>>> N = M.H * (M * M.H) ** -1

>>> N.evalf(4)
[-0.9444,  0.4444]
[-0.1111,  0.1111]
[ 0.7222, -0.2222]
>>> M * N
[1, 0]
[0, 1]

对于完整列排名，将M替换为M.H，转置结果，并简化以获得“左”逆的以下公式：

>>> M = sy.Matrix(3, 2, [1,2,3,4,5,6])

>>> N = (M.H * M) ** -1 * M.H

>>> N.evalf(4)
[-1.333, -0.3333,  0.6667]
[ 1.083,  0.3333, -0.4167]
>>> N * M
[1, 0]
[0, 1]