乐高积木 - 动态规划

Question

我正在尝试解决以下DP问题：

  

您有4种类型的乐高积木，尺寸为1 * 1 * 1,1 * 1 * 2,1 * 1   * 3和1 * 1 * 4.假设每种类型都有无限数量的块。

     

您想要在这些块中制作高度为H且宽度为M的墙。   墙上不应有任何孔。你建造的墙应该是   一个坚固的结构。坚固的结构意味着它不应该   可以沿任何垂直线分开墙壁而不切割   任何用于建造墙壁的乐高积木。只能放置块   水平。墙可以建造多少种方式？

以下是我的尝试方式： 用b c d表示1 * 1 * 1,1 * 1 * 2,1 * 1 * 3和1 * 1 * 4块 。有效模式以粗体表示。无效的模式可以被垂直线打破。

  

H = 1＆amp; W = 3 #valid pattern = 1
a a ab ba c

     

H = 2＆amp; W = 3 #valid pattern = 9
  

我试图找到重复模式，或者通过高度或宽度来扩展它。为了找到H = 3＆amp;的值。 W = 3或H = 2＆amp; W = 4。

关于如何通过身高或体重来计算增长的任何输入？ 附：墙总是H * W * 1.

Answer 1

首先，让我们看看如果我们忽视了保持连接的必要性，我们可以建造多少M * N墙：

我们可以单独处理每一行，然后将计数相乘，因为它们是独立的。

只有一种方法可以平铺0*1或1*1墙，而平铺n*1的方法数量是平铺{{}的方式总数1}} ... {n-1}*1 - 大小的墙，原因是这些墙可以通过移除{n-4}*1墙的最后一块瓷砖来获得。

这产生了一个tetranacci序列OEIS A000078。 所有n*1墙的数量均为W*H。

现在，计算实心墙的数量。 MBo的答案已经包含了基本前提：

分支在未连接墙的最左侧的地方。 a(w,h)=T(w)^h l * W * H墙的数量是A橄榄X * H墙的数量乘以S ll A墙的数量，总计所有可能的值{W-X}*H，加上X ol * W * H墙的数量：

S

作为最后一步，我们将A(W,H) = sum{X=1..{W-1}}(S(X,H)*A(W-X,H)) + S(W,H) 术语分开，这是我们想要计算的值，并重复以前的公式：

S(M,H)

（证明MBo的公式正确）。

这还提供了S(W,H) = A(W,H) - sum_x( S(X,H)*A(W-X,H) ) //implicitly, S(1,H)=1 A(W,H) = T(W)^H T(X) = X > 0: T(X-1)+T(X-2)+T(X-3)+T(X-4) X = 0: 1 X < 0: 0 算法来计算O(W^2)（假设正确的记忆和恒定时间算术运算）

Answer 2

不难发现多个1xW条纹（让它为N（1，W））。 然后你可以找到许多（包括非固体）HxW墙 - 它是A（H，W）= N（1，W）^ H 任何非实心墙都由左H * L墙和右H *（W-L）墙组成。似乎固体墙的数量是

S(H,W) = A(H,W) - Sum(S(H, L) * A(H, W-L)) [L=1..W-1]

S（H，L）* A（H，W-L）是在L垂直位置处最左边的断裂的非实心壁的数量。第一个因素是固体墙的数量 - 以消除重复变体的计数。