使用Coq的案例证明

Question

我有一个简单的定理，我想用案例证明来证明。下面给出一个例子。

Goal forall a b : Set, a = b \/ a <> b.
Proof
  intros a b.
  ...

我将如何解决这个问题。而且，我究竟如何使用两个可能的相等值（真或假）来定义证明？

任何帮助将不胜感激。 谢谢，

Answer 1

我很确定Set s的相等性在Coq中是不可判定的。原因（我的理解有限）将是它不是一个归纳定义的集合（因此，对你来说没有案例分析......），它也不是一个封闭的集合：每当你定义一个新的数据类型时，你创造Set的新一族居民。因此，证明你所展示目标的术语需要更新以反映这些新居民。

正如@hardmath在评论中提到的那样，你可以使用Classical假设（Axiom classic : forall P:Prop, P \/ ~ P.）证明你的目标。

正如@Robin Green在这里的评论中提到的那样，你可以证明这种目标对于可判无法相等的类型。为此，您可能希望从decide equality策略中获得帮助。请参阅：http://coq.inria.fr/distrib/V8.4/refman/Reference-Manual011.html#@tactic121

Answer 2

你的问题触及了Coq的一个有趣的方面：​​命题（即Prop的成员）和布尔（即bool的成员）之间的区别。详细解释这些差异在某种程度上太技术性，所以我只想集中讨论你的特定例子。

粗略地说，Coq中的Prop不是评估为True或False的东西，就像常规布尔值一样。相反，Prop具有可以组合以推断事实的推理规则。使用这些，我们可以证明命题成立，或表明它是矛盾的。使事情变得微妙的是，存在第三种可能性，即我们无法证明或驳斥命题。这是因为Coq是建设性逻辑。其中一个最着名的后果是，熟悉的推理原理称为排除中间（forall P : Prop, P \/ ~ P）无法在Coq中证明：如果你断言{{1 }}，这意味着您要么能够证明P \/ ~ P要么证明P。你不能在不知道哪一个持有的情况下断言。

事实证明，对于某些命题，我们可以证明~ P成立。例如，显示P \/ ~ P并不困难。根据上述说法，这意味着对于每对自然数，我们都能够证明它们是相同的或证明它们不相同。

另一方面，如果我们将forall n m : nat, n = m \/ n <> m更改为nat，就像在您的示例中一样，那么我们永远无法证明该定理。要了解原因，请考虑Set Set对自然数。如果我们能够证明你的定理，那么它将遵循nat * nat。再次，通过上述评论，这意味着我们要么能够证明nat = nat * nat \/ nat <> nat * nat或nat = nat * nat。但是，因为两种类型之间存在双射，我们不能说假设nat <> nat * nat是矛盾的，但是因为类型在语法上不相等，所以也可以假设它们是不同的。从技术上讲，命题nat = nat * nat的有效性是独立的Coq逻辑。

如果你真的需要你提到的这个事实，那么你需要将被排除的中间断言为公理（nat = nat * nat），这样你就可以在没有明确证明的情况下生成Axiom classical : forall P, P \/ ~ P.的证据任何一方和案件的理由。然后你就可以用

之类的东西来证明你的例子定理

intros a b. destruct (classical (a = b)).
  left. assumption.
  right. assumption.

希望这有帮助。