具有两个给定点和成本函数的抛物线拟合

Question

假设有一个抛物线Y = aX^2 + bX + c，它可能会按如下方式旋转：

X = x.sin(phi) + y.cos(phi)
Y = x.cos(phi) - y.sin(phi)
phi = rotation angle

我们希望将它放在边框上（例如眼睑的内边缘，如下图所示）。问题是我们如何在每次迭代中改变抛物线，以便最小化成本函数。我们知道抛物线可以处于不同的旋转，其起源可能在搜索区域中有所不同。注意，拟合抛物线应该通过它们有两个给定点（例如下图中的白色方块）。因此，在每次迭代中，我们可以通过两个给定点和原点（三个方程和三个变量）计算a，b和c。 问题是我们如何在最小迭代中达到目标（而不是测试所有可能性，即搜索区域中的所有角度和所有位置）。

任何想法都将受到赞赏。

Answer 1

@woodchips：我认为这是一个编程问题，他问了一个实现的解决方案。我绝对不同意你。

一种可能的解决方案是首先沿垂直线搜索，该垂直线与两个给定点之间的直线正交。此外，您还可以在此间隔内改变角度。作为问题的本质（眼睑边框），您可以限制-pi / 4和pi / 4之间的角度变化。在此垂直线中找到位置的最低成本后，您可以沿水平线搜索并执行类似的任务。

Answer 2

为什么不使用回归将抛物线拟合到目标形状中的几个点？然后你可以使用你想要的哪种算法来获得近似解。牛顿的方法收敛得非常快。这里的优化是关于近似抛物线的系数。