Question

我需要一个执行以下操作的算法：

在NBA幻想联盟中，给出了：

每位玩家的平均积分
每位玩家的价格
工资帽

选择最佳的9人阵容。

使用一个简单的例子，假设联盟中只有四名球员，你有一个$ 10,000的工资帽，你想要最佳（意味着最高分）3人阵容。这里有平均点总数和价格：

最佳阵容将是科比，威廉姆斯和麦克，这将花费8,000美元并得到60分。

还有一个限制：程序必须为每个位置选择一定数量的球员（例如，两个控球后卫，两个得分后卫，两个小前锋，两个大前锋和一个中锋）。这使得设计程序变得困难。

Answer 1

首先，很容易看出问题的推广是NP-Hard，并且可以立即从Knapsack Problem缩小：

考虑到背包问题：weight=W, costs_of_items=C, weight_of_items=X，将问题减少到这个问题而不限制玩家数量（概括最多只有k个玩家，其中k被选中由你）。

因此，我们可以得出结论，没有已知的多项式时间解决方案。

但是，我们可以基于knapsack pseudo-polynomial solution开发解决方案。
为简单起见，假设我们只限制小前锋的数量（答案的原则可用于增加更多限制）。

然后，可以使用以下递归方法解决问题：

if i is not a forward, same as the original knapsack, while maintaining the #forwards
    f(i,points,forwards) = max {
                f(i-1,points-C[i],forwards)
                f(i-1,points,forwards)
                           }
if i is a forward:
    f(i,points,forwards) = max {
                //We used one of the forwards if we add this forward to the team
                f(i-1,points-C[i],forwards-1) 
                f(i-1,points,forwards)
                           }

基数将全部为零，其中一个维度为零：f(0,_,_)=f(_,0,_)=0（与常规背包相同）和f(_,_,-1)=-infnity（无效解决方案）

答案为f(2,W,n)（前锋数量为2，如果不同，也应该更改）。 W是工资上限，n是玩家数量。

DP解决方案将填充表示递归自下而上的矩阵以获得伪多项式时间解（仅当限制是常数时才是伪多项式）。

通过重复此过程，为每个条件添加维度，DP解决方案将最佳地解决此问题。

您将获得的复杂性为O(B^p * W * n) - 其中：
B是“分支因素” - 您的案例B=3中每个职位的玩家数量+ 1（零）。
W =工资帽
n =可供选择的球员数量

如果您发现最佳解决方案过于耗时，我建议您使用启发式解决方案，例如hill climbing或Genetic Algorithms，这会尝试优化结果尽可能多，但不能保证找到全局最大值。

Answer 2

使用动态编程可以轻松解决这个问题。参考this

让f[i][j]成为我们使用j美元与第一个i玩家获得的最高分数，所以

f [i] [j] = max {

f [i - 1] [j] //我们不选择第i个玩家
f [i - 1] [j - cost [i]] + point [i] //我们选择他

}

最后f[TOTALPLAYER][MONEYCAP]就是答案。

主要想法是确定是否为每个玩家选择他。

数组f[][]仅用于加速搜索过程。

btw，Chowlett是对的。

选择具有最大点但具有给定成本的玩家的算法

2 个答案: