计算曲线之间的距离

Question

我需要计算曲线之间的某种距离。

这些是一般曲线，可能不是函数 - 也就是说，x的某些值可能会映射到多个值。

修改

• 曲线以X，Y对列表的形式给出，逻辑曲线是按给定顺序通过所有点的线。一个典型的数据集将包括大约1000点

• 如上所述，曲线可能不是函数，但通常类似于函数

这个问题我们阻止使用interp1或曲线拟合工具箱（在Matlab中）

距离测量我正在考虑曲线之间区域的区域 - 但任何合理的替代方案都可以。

修改 曲线的示例说明以及我想要计算的区域

首选Matlab解决方案，但其他语言也不错。

Answer 1

如果你有y = f(x)类型的函数并且它们是在同一个域中定义的，那么找到＆＃34;距离＆＃34;的常用方法是使用这里解释的L2范数http://en.wikipedia.org/wiki/L2_norm#p-norm。这只是函数平方之差的绝对值的积分。如果您有参数曲线，则无法直接采用此方法。如果L2规范不能满足您的要求，那么您需要提供更具体的定义，即＆＃34;距离＆＃34;。如果您不清楚需要什么，请尝试查看不同类型的数学规范，看看是否有任何常用的数学规范（即L1规范，统一规范）。上面的wikepedia链接是一个很好的起点。如果L2足够好，那么你需要一种方法来计算你所拥有的积分 - 那里有很多数值积分技术，我建议google是你的朋友（或者一本好的数值分析教科书）。

如果你有参数类型曲线，那么这非常重要。使用＆＃34;区域＆＃34;在曲线之间不是一个好主意，因为没有明确的方法来定义这个区域，并且在你可以有自相交曲线的一般情况下会变得更加复杂。如果您的曲线以相同的方式进行参数化，您可以尝试一些非常粗略的测量，其中您在参数范围内以等间距值评估每条曲线上的点，然后计算每个曲线之间的距离长度，总和并将平均值作为概念＆＃34;亲近＆＃34;。即将您的参数范围划分为集合{u_0，...，u_n}并评估每个i的curve1（u_i）和curve2（u_i）以生成一组n成对点。然后求出每对点之间的欧氏距离。

这是非常粗糙的，如果参数化不同，那么它将不会有太多用处。

Answer 2

您需要定义曲线之间距离的含义。如果它是两条一般曲线之间最接近的方法，则解决问题变得非常困难。

如果“曲线”甚至不能表示为x的单值函数，那么它就变得更加复杂了。

仅仅告诉我们你需要定义“某种距离”这里的陈述过于宽泛，而且它说你还没有想到要解决的问题。

如果您愿意告诉我们的是曲线是两条完全一般的参数曲线，可能是否关闭，或者它们甚至可能不在同一个域上，那么这个问题就变得如此完全不合适了无法回答。在这种情况下，两条曲线之间的区域是多少？

如果曲线是在SAME支持上定义的，那么减去它们并积分差值的绝对值或平方就足够了。但是你已经告诉我们这些“曲线”可能是多值的。在这种情况下，基本上不可能按照你的要求去做。