我有一个有趣的组合问题，我有点卡住了
让我们定义一个函数p（xn），它返回方程x的'（）'数 现在x只能采用x1 + x2 + x3 ... xn的形式 该函数定义为n> = 2
示例：
P（x2）=（x1 + x2）= 1
p（x3）=（（x1 + x2）+ x3）和（x1 +（x2 + x3））
p（x4）=
（（x1 + x2）+（x3 + x4））
（（（x1 + x2）+ x3）+ x4）
（（x1 +（x2 + x3））+ x4）
（x1 +（（x2 + x3）+ x4））
（x1 +（x2 +（x3 + x4）））
等等 注意（x1 +（x2 + x3）+ x4）不是有效的例子 每个+
必须有一个（）现在，我试图想出一个P的公式，它将决定组合的数量 我不确定是否有固定的公式或递归定义取决于其先前的术语。你能帮我弄清楚这个公式吗？
答案 0 :(得分：2)
基本上，您要计算唯一二进制表达式树的数量，其中节点是求和，叶子是x 1 到x n 。我们称这个数字为P（n）。
您可以选择任何n-1个总结作为根节点。让我们选择第k个总和。根目录左侧有k个变量，因此您可以用P（k）方式组织左子树。右边有n-k个变量，所以右边的子树可以用P（n-k）方式组织。因此，总的来说，您可以用P（k）P（n-k）不同的方式组织树。
由于您可以从1到n-1自由选择k，因此用n叶子组织表达式树的总数是：
P(n) = P(1)P(n-1) + P(2)P(n-2) + ··· + P(n-2)P(2) + P(n-1)P(1)
正如@DSM在评论中所指出的，这种递归关系会产生加泰罗尼亚数字。有一个封闭形式的解决方案，但从递推公式推导出来有点棘手。您可以在Wikipedia article for Catalan numbers中找到该公式的几个证明。解决方案是：
P(n) = C(2n,n)/(n+1) where C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)