Question

我有一个有趣的组合问题，我有点卡住了

让我们定义一个函数p（xn），它返回方程x的'（）'数现在x只能采用x1 + x2 + x3 ... xn的形式该函数定义为n> = 2

示例：

P（x2）=（x1 + x2）= 1

p（x3）=（（x1 + x2）+ x3）和（x1 +（x2 + x3））

p（x4）=

（（x1 + x2）+（x3 + x4））

（（（x1 + x2）+ x3）+ x4）

（（x1 +（x2 + x3））+ x4）

（x1 +（（x2 + x3）+ x4））

（x1 +（x2 +（x3 + x4）））

等等注意（x1 +（x2 + x3）+ x4）不是有效的例子每个+

必须有一个（）

现在，我试图想出一个P的公式，它将决定组合的数量我不确定是否有固定的公式或递归定义取决于其先前的术语。你能帮我弄清楚这个公式吗？

Answer 1

基本上，您要计算唯一二进制表达式树的数量，其中节点是求和，叶子是x ₁到x _n。我们称这个数字为P（n）。

您可以选择任何n-1个总结作为根节点。让我们选择第k个总和。根目录左侧有k个变量，因此您可以用P（k）方式组织左子树。右边有n-k个变量，所以右边的子树可以用P（n-k）方式组织。因此，总的来说，您可以用P（k）P（n-k）不同的方式组织树。

由于您可以从1到n-1自由选择k，因此用n叶子组织表达式树的总数是：

P(n) = P(1)P(n-1) + P(2)P(n-2) + ··· + P(n-2)P(2) + P(n-1)P(1)

正如@DSM在评论中所指出的，这种递归关系会产生加泰罗尼亚数字。有一个封闭形式的解决方案，但从递推公式推导出来有点棘手。您可以在Wikipedia article for Catalan numbers中找到该公式的几个证明。解决方案是：

P(n) = C(2n,n)/(n+1)                where C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)