2D点，3D，然后返回2D

Question

图1： 我在2d（CoreGraphics）的一个图层上绘制了一个bezier，我有点A＆amp; B.

图2： 我可以将图层旋转大约70度。

图3： 我想知道A＆amp; A点是什么B现在以某种方式将图像从3D压缩回2D。

我理想的想法是这样的功能：

-(CGPoint)calculateNewPointFrom:(CGPoint)p withAngle:(float)angle
{
    //Rotate point by angle in 3d space
    //Return new point in 2d space
}

欢迎所有帮助。感谢

Answer 1

如果您在3D中有点Q的坐标：（x，y，z）

并且您希望将其投影到包含点P且具有法线向量n的平面上，

飞机的等式是

(R - P) . n = 0

我使用向量减法，而.是点积。

由此可以推断出任何点在该平面上的投影：沿法线向量n绘制一条直到它与平面相交的方式。

因此会有一些值a，以便

Q + a * n 

位于飞机上，即

(Q - a * n - P) . n = 0

解决（注意n . n = 1）：

a = (Q - P) . n

（注意 - 这是从Q到P的“正常距离”;没有巧合！）

现在它们相交的点的值是

Q + ((Q - P) . n ) * n

再次注意 - 我正在使用矢量数学，因此最后*n会产生三个值（因为n是一个3D矢量）。

如果您尝试在平面上进行非法线投影（例如，您想投影到XY平面上，但是“正在看一个角度”），则可以对此进行概括。在这种情况下，您需要沿着不同的方向m（您正在寻找的方向）投影，并且交点的方程变为

Q + ((Q - P) . n ) * m / (m . n)

正如你所看到的，如果m垂直于n（你是沿着飞机而不是沿着它看），那就没有解决方案......

您还可以看到，如果您直接投影到XY平面上，因此n = [0 0 1]），整个过程简化为设置Z = 0

让我知道这是否足够，或者如果您需要实际的代码行......

  

---编辑---添加一些简单的代码：

如果您有一系列描述曲线的点（x，y），您可以绕Z轴（垂直于您的平面）旋转角度θ，如下所示：

x1 = x * cos(theta) - y * sin(theta);
y1 = x * sin(theta) + y * cos(theta);

现在你可以“挤压”这些点，这样你就可以从侧面看它们，只需缩小y坐标：

x2 = x1;
y2 = y1 * cos(alpha);

其中alpha是您观察曲线的视角。因此，如果您直接向下看XY平面，alpha为0，y2 = y1。如果你看45度，alpha是pi/4和y2 = 0.707 * y1（大约）。

您可以将这两种转换合并为：

xnew = x * cos(theta) - y * sin(theta);
ynew = cos(alpha) * (x * sin(theta) + y * cos(theta));

尝试使用θ的几个值（0到0.5之间，步长为0.1）和alpha（类似范围可能很好）。看看你是否喜欢这个结果。

也许这对你来说更好（在“更有用”的意义上）？